Уравнение Шредингера как следствие новых уравнений типа Власова

Веденяпин В.В.; Караваева Н.И.; Костюк О.А.; Четверушкин Б.Н.

doi:https://doi.org/10.20948/prepr-2019-26

№ 26 за 2019 г.

https://doi.org/10.20948/prepr-2019-26

Уравнение Шредингера как следствие новых уравнений типа Власова

Уравнение Шредингера приводится к уравнению Гамильтона–Якоби, как известно, в рамках механики Бома. В работе были предложены новые уравнения типа Власова, из которых получаются уравнения типа Гамильтона-Якоби. Также исследуются их стационарные решения.

уравнение Шредингера, уравнения типа Власова, стационарные решения

Schrödinger equation as a consequence of new Vlasov type equations

Victor Valentinovich Vedenyapin
Nataliia Igorevna Karavaeva
Oksana Aleksandrovna Kostiuk
Boris Nikolaevich Chetverushkin

It is well known that the Schrödinger equation can be reduced to the Hamilton–Jacobi equation in Bohmian mechanics. New Vlasov-type equations were proposed, from which Hamilton-Jacobi type equations are derived. Also their stationary solutions are investigated.

Schrödinger equation, equations of the Vlasov and Lamb types, stationary solutions

Работа выполнена при финансовой поддержке министерства образования и науки РФ по программе повышения конкурентоспособности РУДН 5–100 среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2016–2020 гг. и при поддержке программы Президента РАН № 01 “Фундаментальная математика и её приложения” (грант PRAS1801).

1. Уравнение Шредингера, уравнение типа Лэмба
и уравнения типа Власова

Рассмотрим классическое уравнение Шредингера

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ ψ + U (x) ψ .

(1)

Как известно, подстановка ([1], [2])

ψ (x, t) = \sqrt{ρ} \exp (i \frac{S (x, t)}{ℏ})

(2)

для скалярных функций $ρ (x, t) \geq 0, S (x, t)$ приводит к следующей системе:

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{1}{m} div (ρ \nabla S) = 0,

(3)

\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2 m} {(\nabla S)}^{2} + U - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}} = 0.

(4)

Здесь $Δ$ – оператор Лапласа.

Бом предложил интерпретировать уравнение (4) как уравнение Гамильтона–Якоби для обычной классической частицы, которая находится в суперпозиции двух полей с потенциалами $U (x)$ [1,2] и $P = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}$ .

В работах И.С.Аржаных [18] и В. В. Козлова [2, 17] было показано, что уравнение Гамильтона–Якоби может быть получено из уравнений типа Лэмба. В данном случае может быть написано аналогичное уравнение типа Лэмба (5), из которого подстановкой $Q = \nabla S$ получится (3), (4):

\frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{Q_{i}}{m} \frac{\partial Q}{\partial x_{i}} = - \nabla U + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}},

(5)

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{1}{m} div (ρ Q) = 0.

(6)

Уравнение (5) было получено в связи с уравнением (4) и уравнением Шредингера ещё Маделунгом [25], что предвосхитило связь уравнений типа Лэмба и уравнений типа Гамильтона–Якоби по Аржаных и Козлову. Вся эта тематика развивалась Давидом Бомом [22–24] и даже получила название механики Бома [1, 16].

В свою очередь, как показано в работах [3–5], такие системы гидродинамического типа получаются из уравнения

\frac{\partial f}{\partial t} + (v, \frac{\partial f}{\partial x}) - (\nabla U + \nabla P, \frac{\partial f}{\partial v}) = 0,

(7)

P = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}} .

(8)

(Здесь $f (t, v, x)$ – функция распределения частицы по скоростям $v \in R^{3}$ и пространству $x \in R^{3}$ ) с помощью гидродинамической подстановки

f (t, v, x) = ρ (x, t) δ (v - Q (x, t))

.

Методически этот прием совпадает со способом получения уравнений идеальной магнитной газовой динамики из кинетического уравнения с помощью процедуры, аналогичной процедуре Чепмена–Энcкога [6]. С этой целью вводится аналог локально-максвелловской функции.

f_{M} (t, v, x) = \frac{ρ}{{(2 π R T)}^{3 / 2}} \exp (- \frac{{(v - u - i B / \sqrt{4 π ρ})}^{2}}{2 R T})

,

где $T (x, t)$ – температура, $R$ – газовая постоянная, $v$ и $u (x, t)$ соответственно скорость молекулы и макроскопическая скорость, $B (x, t)$ – напряженность магнитного поля, $i$ – мнимая единица, $v_{α} (x, t) = B (x, t) / \sqrt{4 π ρ (x, t)}$ – альфвеновская скорость. При температуре, стремящейся к нулю, это максвелловское распределение переходит в вышеуказанную гидродинамическую подстановку.

Подобный подход позволяет строить вычислительные алгоритмы, адаптируемые к архитектуре систем с экстрамассивным параллелизмом [7]. Его использовали для моделирования 3D астрофизических явлений на пространственной сетке, состоящей из более 10⁹ узлов [8].

Все переходы от системы (7–8) к системе (5–6) и далее к (3–4) точные, поэтому удобно проследить более общую подстановку [3–5,9,10] в (7)

f (t, v, x) = \sum ρ_{i} (x, t) δ (v - Q_{i} (x, t))

или даже

f (t, v, x) = \int ρ (x, s, t) δ (v - Q (x, s, t)) d s

,

где для каждой пары функций $(ρ_{i} (x, t), Q_{i} (x, t))$ или $(ρ (x, s, t), Q (x, s, t))$ получаются описанные (5–6) уравнения. Соответственно, систему (7–8) можно интерпретировать как систему уравнений типа уравнения Власова, где $U$ – внешнее поле, а самосогласованный потенциал задается неклассическим образом (8). Следовательно, уместно сравнить систему (7–8) с классическим уравнением Власова [9, 19–21].

2. Уравнение Власова–Пуассона и его стационарные решения

Уравнение Власова–Пуассона может быть записано в виде [9,11–12]:

{\begin{cases} \frac{\partial f_{i}}{\partial t} + (v, \frac{\partial f_{i}}{\partial x}) - \frac{e_{i}}{m_{i}} (\nabla ϕ, \frac{\partial f_{i}}{\partial v}) = 0, \\ Δ ϕ = - \sum 4 π e_{i} \int f_{i} (t, v, x) d v . \end{cases}

(9)

Рассмотрим подстановку [5,9,11–12] (энергетическая подстановка, которая сводит систему (9) к нелинейному эллиптическому уравнению)

f_{i} (v, x) = g_{i} (\frac{m_{i} v^{2}}{2} + e_{i} ϕ) .

Тогда первое уравнение системы (9) удовлетворяется, и мы получаем эллиптическое уравнение

Δ ϕ = ψ (ϕ),

где $ψ (u) = - \sum 4 π e_{i} \int g_{i} (\frac{m_{i} v^{2}}{2} + e_{i} ϕ) d v$ .

Если $v \in R^{d}$ , то $ψ^{'} (u) \geq 0$ при $d \geq 2$ или если ${g^{'}}_{i} \leq 0$ [5,11–12]. Тогда граничная задача корректна, и мы имеем также отсутствие периодических решений.

Пусть, однако, мы имеем одномерную задачу, когда потенциал $ϕ (x)$ и функция распределения зависят только от одной пространственной переменной $x_{1} : ϕ (x) \geq Φ (x_{1}), f (x, v) = F (x_{1}, v) .$ В этом случае мы можем перейти к одномерной и по $v$ системе для функции

G (x_{1}, v_{1}) = \int F (x_{1}, v_{1}, v_{2}, v_{3}) d v_{2} d v_{3}

.

В этом случае существуют нетривиальные периодические решения по $x_{1}$ , которые называются волнами Бернштейна–Грина–Крускула (БГК):

G_{i} (x_{1}, v_{1}) = g_{i} (\frac{m v_{i}^{2}}{2} + ϕ (x_{1}))

.

При этом функции $g_{i} (E)$ не могут быть монотонно убывающими, например, максвелловскими распределениями, а должны быть, например, вида $δ (E - E_{0})$ . Все это налагает значительные ограничения на поведение функций распределения, которые дают волны БГК и которые сейчас хотят получить экспериментально. Трудности здесь заключаются и в том, что среда не может быть квазинейтральной.

3. Получение стационарных решений

Теперь исследуем, насколько глубока внешняя похожесть уравнения Власова–Пуассона (9) и системы (7–8). В теории уравнения Власова есть три классические подстановки: энергетическая, гидродинамическая и микроскопическая [5,9–12, 20–21]. Гидродинамическая подстановка как раз была использована (обратным ходом) из уравнений де Бройля–Маделунга–Бома (3–4) при получении из (5–6) системы (7–8). Микроскопическая подстановка [5,9] в виде суммы дельта функций в уравнения типа Власова даёт уравнения движения многих тел или даже континуума тел, что показывает фундаментальность уравнений типа Власова. Именно эта подстановка не проходит в уравнении (8). Но энергетическая подстановка, которая была описана в предыдущем пункте, проходит. Используем эту методику для получения стационарных решений системы (7–8). Полагая в (7–8) функцию распределения в виде функции только от энергии, как и в предыдущем пункте, удовлетворяем уравнению (7), а (8), вместе с определением плотности как интеграла функции распределения по скоростям, даёт уравнение на $ρ : ρ = ξ (U, \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}})$ , где $U$ – заданное внешнее поле, а

ξ (U, \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}) = \int g (\frac{m v^{2}}{2} + U (x) - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}) d v .

(10)

Перепишем это уравнение, положив $\frac{m v^{2}}{2} = u$ , d – размерность пространства скоростей

ρ = C_{d} \int_{0}^{\infty} g (u + U (x) - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}) u^{\frac{d - 2}{2}} d u .

(11)

Для уравнения Шредингера очень важны именно стационарные решения уравнения

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ ψ + V (x) ψ = λ ψ .

(12)

4. Новые уравнения

Перепишем (10) точнее.

ρ = ξ (U - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}),

(13)

где $ξ (E) = \int g (\frac{m v^{2}}{2} + E) d v$ .

Обращая это уравнение, получим уравнение Шредингера с нелинейной добавкой, $ρ = | ψ |^{2}$ :

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ ψ + U ψ = ψ ξ^{- 1} (| ψ |^{2}) .

(14)

Пусть в (13) $g (ε) = \exp (- \frac{ε}{k T})$ – максвелловское распределение. Тогда $ξ (E) = C \exp (- \frac{E}{k T})$ , где $C \neq C (E), C = C (k T)$ .

Обратим полученную функцию $ρ = ξ (E)$ и подставим в (14):

E = - \frac{\ln (ρ / C)}{k T}

,

- \frac{h^{2}}{2 m} Δ ψ + U ψ = - ψ \frac{\ln (| ψ |^{2} / C)}{k T} .

(15)

Проанализируем вопрос, когда правая часть уравнения (14) представляет собой константу

ψ ξ^{- 1} (| ψ |^{2}) = c o n s t

.

Это даст решение $ρ = ξ (E) = \frac{c o n s t^{2}}{E^{2}}$ .

Рассмотрим подстановку $g (E) = δ (E - E_{0})$ в (11) при d=1,2,3:

d = 1 : ρ = C_{1} {(E_{0} - U (x) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}})}^{- 1 / 2} \cdot Θ (E_{0} - U (x) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}),

(16)

d = 2 : ρ = C_{2} \cdot Θ (E_{0} - U (x) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}),

(17)

d = 3 : ρ = C_{3} {(E_{0} - U (x) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}})}^{1 / 2} \cdot Θ (E_{0} - U (x) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}),

(18)

где $Θ (E_{0} - E) = {\begin{cases} 0, E_{0} < E \\ 1, E_{0} \geq E \end{cases}$ – функция Хевисайда, $E = U (x) - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{Δ \sqrt{ρ}}{\sqrt{ρ}}$ . Тогда выражения (16–18) примут вид

d = 1 : ρ = C_{1} {(E_{0} - E)}^{- 1 / 2} \cdot Θ (E_{0} - E),

(19)

d = 2 : ρ = C_{2} \cdot Θ (E_{0} - E),

(20)

d = 3 : ρ = C_{3} {(E_{0} - E)}^{1 / 2} \cdot Θ (E_{0} - E) .

(21)

Выражения для $ρ$ качественно различны в зависимости от размерности пространства скоростей.

Функции (19,21) можно обратить при условии неотрицательности аргумента $Θ (E_{0} - E)$ . Выражая $E = ξ^{- 1} (ρ)$ из (19) и подставляя в (14), получим уравнение Шредингера следующего вида:

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ ψ + U ψ = ψ (E_{0} - \frac{C_{1}^{2}}{| ψ |^{4}}) .

(22)

Аналогично для (21)

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ ψ + U ψ = ψ (E_{0} - \frac{| ψ |^{4}}{C_{3}^{2}}) .

(23)

Эти уравнения похожи на уравнения Шредингера при переобозначении $\sqrt{ρ} = ψ$ . Заметим, что эта величина действительна, хотя и незнакоопределена для уравнения Шредингера.

Было бы интересно сравнить, что получается из известных решений уравнения Шредингера (12) для уравнений (7,8,10,11): это могло бы стать источником новых решений нелинейных уравнений. Наоборот, интересно было бы получить ограниченные решения уравнения Шредингера (12) из уравнения (11). Можно ли получить такие решения в квантовомеханичеких экспериментах? Значат ли они что-нибудь в квантовой механике?

5. Заключение

Наша интерпретация механики Бома и уравнения Шредингера как самосогласованного поля продолжает линию Маделунга–Бома [1] и позволяет избежать многих вопросов в интерпретации квантовой механики, и поэтому уравнения (7–8) и (5–6) могут оказаться фундаментальными. Например, на фазовой плоскости получается яркая визуализация принципа неопределенности. Если в начальный момент времени мы возьмём квадратик (в одномерном случае) с площадью, равной постоянной Планка (когда неравенство Гейзенберга принципа неопределённости превращается в равенство), то эволюция в силу кинетического уравнения (7–8) превратит этот квадратик в кривую, растянутую вдоль линии уровня энергии, а равенство Гейзенберга превратится в неравенство. Следует признать аналогию с уравнением Власова неполной: хотя энергетическая подстановка проходит, неясно, дадут ли новые решения что-нибудь новое для квантовой механики. Кроме того, не проходит важнейшая в уравнении Власова микроскопическая подстановка: при такой подстановке в уравнение Власова аргументы удовлетворяют уравнениям движения многих тел, а для уравнения Лиувилля – исходному уравнению, из которого уравнение Лиувилля получено. Интересно исследовать вопрос о возрастании энтропии и связанный с этим вопрос о совпадении временных средних и экстремалей Больцмана [12–15] как для уравнения Власова, так и для новой системы (7–8). Этот круг вопросов весьма интересен, может быть, не только с математической точки зрения. Краткий вариант статьи был опубликован в [26].

Литература