Исследованы численные решения уравнений микрополярной магнитоупругой среды, полученные в рамках модели Коссера. Устойчивость уединенных волн изучена при помощи методики функции Эванса, основанной на исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений, и непосредственным расчетом решений уравнений в частных производных. Рассматриваемые уравнения относятся к классу уравнений с дисперсией и конечной скоростью распространения волн. В этом случае встречаются как недиссипативные структуры разрывов, так и опрокидывание волн, требующее включения диссипации для получения классического решения. Исследованы структуры разрывов солитонного типа и структуры с излучаемой волной. Структура с излучаемой волной содержит внутренний диссипативный разрыв производных первого порядка и слабые разрывы производных второго порядка. Кроме того, обнаружен разрыв, являющийся аналогом ударной волны. Найдены условия на разрывах и исследована их эволюционность, т.е. корректность. Установлено, что при исследовании разрывов в моделях с дисперсией и конечной скоростью распространения волн скорости коротких волн играют ту же роль, что и характеристики для гиперболических уравнений.