Доклад посвящён теоретическому исследованию термодинамических свойств металлов и соединений сложного химического состава в широкой области температур и плотностей, в том числе в плазменной области фазовой диаграммы. Для расчёта термодинамических свойств в работе применяются квантово-статистические модели среднего атома, а именно модели Томаса–Ферми, Томаса–Ферми с поправками и Хартри–Фока–Слэтера с учётом зонной структуры. С помощью перечисленных моделей проведены широкодиапазонные расчёты электронной теплоёмкости плазмы алюминия и молибдена при нормальной плотности вещества. Используя модели идеального газа и заряженных твёрдых сфер для учёта вклада ионной подсистемы получены ударно-волновые зависимости для сплошных и пористых образцов алюминия, железа, меди, молибдена и диоксида кремния.

Проведено экспериментальное и расчётное исследование механизмов разрушения жидкометаллической капли из олова под воздействием ультракороткого лазерного импульса. Результаты экспериментов демонстрируют, что односторонний нагрев такой капли может приводить к её симметричному или асимметричному расширению, что соответствует двум различным сценариям разрушения. Моделирование экспериментов, проведённое с использованием метода сглаженных частиц, демонстрирует, что практически мгновенный прогрев приповерхностного слоя капли создаёт короткую ударную волну, которая распространяется с фронтальной поверхности капли к её тыльной поверхности. Схождение ударной волны к центру капли приводит к формированию больших растягивающих напряжений и, как следствие, к образованию кавитационного пузыря в её центральной части. При отражении ударной волны от тыльной поверхности может происходить откол с образованием тонкого откольного слоя, движущегося со скоростью, большей, чем скорость расширения жидкометаллической оболочки вокруг центрального кавитационного пузыря. Численно продемонстрировано, что пороговая интенсивность лазерного импульса, необходимая для формирования откола, выше пороговой интенсивности, которая требуется для образования кавитационного пузыря в центральной части капли. Следовательно ассиметричное расширение капли происходит, если интенсивность лазерного излучения превышает порог формирования откола. Проведено сравнение расчетов с экспериментами по скоростями расширения оболочек для различных интенсивностей лазерного импульса, продемонстрировано их хорошее согласие.

We investigate the regularity for the diffuse reflection boundary problem to the stationary linearized Boltzmann equation for hard sphere potential, cutoff hard potential, or cutoff Maxwellian molecular gases in a strictly convex bounded domain. We obtain pointwise estimates for first derivatives of the solution provided the boundary temperature is bounded differentiable and the solution is bounded. The key idea is to transfer the regularity in velocity variables obtain by collision and diffuse reflection to space variables by the combination of free transfer and averaging though proper choice of coordinates.

Consider a semi-infinite expanse of a rarefied gas bounded by an infinite plane wall. We study the quantitative short time behavior of the gas in response to the abrupt change of the wall temperature on the basis of the linearized Boltzmann equation. Our approach is based on a straightforward calculation of the exact formulas derived by Duhamel's integral. Our method allows us to establish the pointwise estimates of the microscopic distribution and themacroscopic variables in short time. We show that the short-time solution consists of the free molecular flow and its perturbation, which exhibits logarithmic singularities along the characteristic line and on the boundary.

In this talk, we discuss the properties of the gain term of the Boltzmann collision operator. The smoothing property of this operator was first found by P. L. Lions under compactness assumption for the collision kernel. His proof relies on the theory of Fourier integral operator and related to the work of C. Sogge and E. Stein. A simplified proof, using Fourier transform, of the same result was given by B. Wennberg. The estimate of Lions was extended to full collision kernel by B. Wennberg, F. Bouchut, L. Desvillettes, X. Lu, C. Mouhout, C. Villani., myself and other authors. On the other hand, T. Gustafsson proved that it is a convolution operator. For the hard sphere and hard potential models, we prove the new smoothing estimates which improve current results slightly. The new result also provide a unified view to smoothing estimate and convolution estimate for the gain term of the Boltzmann collision operator.

We study the pointwise (in the space and time variables) behavior of the Fokker-Planck Equation with at con nement. The solution has very clear description in the xt-plane, including large time behavior and asymptotic behavior. Moreover, the structure of the solution highly depends on the potential function

Генерирование рекордов – новое и перспективное направление развития теории рекордов. Наибольший интерес вызывает генерирование “больших” последовательностей рекордов. Существующие на сегодняшний день методы генерирования рекордных последовательностей, по ряду причин, не всегда применимы на практике. Их основные недостатки - ресурсозатратность и долгое время ожидания.

Будет обсуждаться задача по разработке эффективных алгоритмов генерации рекордных величин как для общего непрерывного случая, так и для случаев нормального и гамма распределений. Разработанные алгоритмы опираются на известный метод выборки с отклонением и позволяют получать “большие” последовательности рекордов.

В докладе будут приведены общие понятия теории рекордов, будут описаны и обоснованы разработанные методы и алгоритмы.

Рассматриваются вопросы развития математической теории и алгоритмов численной реализации актуальных вычислительных методов теории переноса нейтронов и теории ядерных реакторов:

• методы декомпозиции (разделения, расщепления) области;
• методы граничных интегральных уравнений (ГИУ);
• методы крупных (грубых) сеток;
• многогрупповые методы;
• методы эквивалентных разностей (ЭР);
• методы точечной и многоточечной кинетики;
• методы расчета эффектов реактивности;
• методы идентификации коэффициентов уравнений точечной кинетики;
• расчетно-экспериментальные методы измерения реактивности.

Методами теории положительных операторов в пространствах с конусом устанавливаются основные теоремы, касающиеся существования и единственности решений рассматриваемых задач, а также сходимости методов последовательных приближений для их отыскания.

Изучаются соответствия между двумя порядковыми структурами, имеющими отношение к основам квантовой теории. С одной стороны, это структура ортогональных мер на пространстве состояний на операторных алгебрах, упорядоченных по Шоке, которая имеет важные приложения в области квантовой статистической механики, используется при описании равновесия квантовых систем и в выпуклом подходе к квантовой теории в целом. С другой стороны, это семейство абелевых подалгебр операторной алгебры, упорядоченное по включению, которое в последнее время привлекает к себе повышенное внимание, поскольку является основополагающим в топос-подходе к основам квантовой теории и играет центральную роль в программе «борификации» для квантовых структур.

Исследуется вопрос порождения порядкового изоморфизма между частично упорядоченными множествами абелевых (ассоциативных) подалгебр операторных алгебр некоторым йордановым изоморфизмом между самими алгебрами, что в определенном смысле означает, что алгебра полностью определяется некоторой структурой своих подалгебр.

Соединяя новые результаты по изоморфизмам частично упорядоченного множества всех абелевых подалгебр алгебры фон Неймана с классической теоремой Томиты для пространства состояний, показывается, что порядковый изоморфизм между множествами ортогональных мер (ортогональных мер с компактным носителем) на пространстве состояний, снабженных порядком Шоке, задается с помощью йорданова *–изоморфизма между соответствующими операторными алгебрами, что, кроме всего прочего, обеспечивает новый полный йорданов инвариант для σ-конечной алгебры фон Неймана в терминах разложения состояний.

В работе обсуждаются свойства симплектической квантовой томограммы в контексте дробного преобразования Фурье, методы реконструкции чистого состояния по конечному набору его квадратурных распределений, а также томографическое представление квантовой механики, при котором квантовые томограммы играют роль пространства основных функций для обобщенных функций - наблюдаемых.

Возможность введения метрической структуры на фазовом пространстве гидродинамических систем является предметом исследования уже около 50 лет, со времени первых фундаментальных исследований на эту тему В.И. Арнольда. Однако абстрактность используемых математических понятий и чрезвычайная вычислительная трудоемкость, характерная для существующих в настоящее время подходов в этой области, не позволяли получить четкие и внятные результаты. Авторы предлагают новую методику исследования топологических свойств гидродинамических систем, основанную на применении формализма потенциалов Монжа-Клебша, и использующую подходы вариационного исчисления на “мультивременных” многообразиях. Используя данный математический аппарат, можно ввести метрику на фазовом пространстве гидродинамического (континуального) течения, и установить критерии его устойчивости, распада и формирования когерентных структур различных масштабов. При этом используется подход, базирующийся на рассмотрении девиации геодезических (в данном случае линий тока), фактически эквивалентный использующемуся в общей теории относительности. Развиваемый формализм позволит описать развитие сдвиговой турбулентности, формирование и поведение вихревых приграничных слоев; также данный формализм пригоден для создания точных методов замыкания моделей мелкомасштабной турбулентности.

Проведено исследование точности метода лебеговского осреднения спектров резонансного излучения при решении кинетического уравнения переноса излучения. Тестирование проводилось на задаче переноса теплового излучения в атмосфере Земли. Проведено сравнение результатов расчетов в двух вариантах лебегова осреднения и результатов прямого спектрального («line-by-line») расчета. В первом варианте осреднения применяется «чистый» интеграл Лебега, в котором вместо энергии фотонов за независимую переменную взята величина коэффициента поглощения. Во втором варианте - интеграл Лебега—Стилтьеса с независимой переменной – мерой лебегова множества. Все расчеты выполнялись по одной методике пространственно—угловой дискретизации кинетического уравнения (характеристическая конечно-аналитическая схема). Это обеспечило чистоту вычислительного эксперимента. Показана высокая точность второго варианта с использованием интегрирования по Лебегу—Стилтьесу (в пределах 5%) при значительном сокращении числа арифметических операций (более тысячи раз) в сравнении со спектральным расчетом.

Гибкие трубки с текущей в них жидкостью, как правило, проявляют неустойчивость, если поток жидкости достаточно интенсивен. Эта неустойчивость существенна для различных инженерных задач и возникает во многих приложениях. В повседневной жизни она наблюдается, например, при поливе из гибкого шланга. Как легко убедиться на практике, сгибание шланга приводит к изменению внутреннего поперечного сечения, которое в свою очередь влияет на динамику течения. Несмотря на большие усилия в этой области, динамическая задача, учитывающая изменение сечения шланга, не была решена. В данном докладе излагается последовательная теория такой динамики. Она основана на применении геометрически точной динамики эластичных стержней, записанной совместно с движением идеальной жидкости с учетом сохранения объема жидкости в каждой точке трубки. Выводятся уравнения движения и также показано существенное влияние изменения поперечного сечения на неустойчивость. Выводятся аналитические решения уравнений движения солитонного типа, не существующие при постоянном поперечном сечении. Будут также рассмотрены результаты экспериментов, демонстрирующие новое интересное явление - стабилизацию трубок путем вращения. В заключение обсуждается возможность применения этих результатов для динамики гибких башен, предназначенных для аккумулирования солнечной энергии.

Работа поддерживалась NSERC (National Science and Engineering Research Council of Canada) и Университетом Альберты.

F. Gay-Balmaz and V.Putkaradze,Exact geometric theory for flexible, fluid-conducting tubes Comptes Rendus Mecanique, 342, pp. 79-84 (2014).

F. Gay-Balmaz and V. Putkaradze, On flexible tubes conveying fluid: geometric nonlinear theory, stability and dynamics, J. Nonlinear Science, to appear (2014).

M. Chi, F. Gay-Balmaz, V. Putkaradze and P. Vorobieff, Dynamics and control of flexible solar updraft towers, Proc. Roy. Soc A, 471, 20140539 (2014).

Структура доклада:

• Цели работы и положения, выносимые на защиту
• Актуальность проблемы: эксперименты в термоиэмиссионных диодах и ультрахолодной плазме (ксенон, цезий).
• Обоснование расчета термодинамики неравновесной системы (замедление рекомбинации и иерархия времен).
• Модифицированная псевдопотенциальная модель двух–компонентной плазмы.
• Псевдопотенциалы взаимодействия.
• Расчет свойств модифицированной псевдопотенциальной модели методом Монте–Карло
• Модель "кулон с полочкой" и расчет ее свойств.
• Фазовый переход типа газ–жидкость в модели "кулон с полочкой".

Исследуются задачи Коши для задачи для дифференциально-разностных уравнений параболического и гиперболического типов с отклонениями пространственного и временного аргументов. Установлены достаточные условия корректной разрешимости задачи в пространствах Соболева с экспоненциальным весом. В терминах спектра оператора задачи получены необходимые условия корректной разрешимости задачи, достаточные условия отсутствия решения задачи и достаточные условия неединственности решения. Найдены аппроксимации разрешающих задачу Коши полугрупп в пространстве операторнозначных функций с помощью формул Фейнмана.

В работе обосновывается актуальность проблемы использования DSn сеточных схем для решения уравнения переноса в проектных расчетах нейтронно-физических характеристик активных зон реакторных установок (РУ) со свинцово-висмутовым теплоносителем (СВТ). Кратко излагаются недостатки диффузионного приближения и метода Монте-Карло в этих задачах.

Разработана программа PMSNSYS, ориентированная на учет конструкторских особенностей активных зон РУ с СВТ. В программе реализованы алгоритмы решения уравнения переноса методом дискретных ординат при использовании комбинированных пространственных сеток, состоящих из прямых призм с правильным шестиугольным и произвольным треугольным и/или четырехугольным основаниями.

Разностные DDL-схемы для таких сеток получены путем обобщения двумерных DDL-схем Хилла-Патерностера. Для призм с правильным шестиугольным основанием используются классические DD-схемы. Использование указанных комбинированных сеток и метода решения в своей совокупности является новым.

Для представляемой программы PMSNSYS разработан оригинальный интерактивный пре- и постпроцессор REBEL. Рассматриваются функциональные возможности программ PMSNSYS и REBEL, которые позволяют характеризовать их как рабочее место проектировщика.

Представлены результаты верификации созданного кода применительно к типовым конструкциям активных зон РУ с СВТ.

Работа посвящена первопринципному расчету термодинамических свойств плотной плазмы металлов методом функционала плотности и квантовой молекулярной динамики. В работе исследуются границы применимости используемых методов, разработаны и реализованы метод расчета термодинамических свойств электронов в металлах, методы моделирования ударных адиабат однократного и повторного сжатия, ударных адиабат пористых веществ, а также изоэнтроп разгрузки, метод расчета кривых плавления металлов, в том числе при разных температурах электронной и ионной подсистем. Полученные в работе данные могут быть использованы для калибровки полуэмпирических уравнений состояния вещества.

Представлен двухшаговый итерационный KP1 метод для решения системы сеточных уравнений, аппроксимирующих нодальными SN методами интегро-дифференциальное уравнение переноса в трехмерных областях на неструктурированных сетках. Приведены результаты тестирования эффективности предложенного метода при решении известных тестовых задач физики защиты реакторов на тетраэдрических сетках.

Реализованы локально рекурсивные нелокально асинхронные алгоритмы класса ConeFold для метода макрочастиц (Particle-in-Cell --- PIC) моделирования кинетики плазмы. Разработанный программный комплекс CFHall оптимален для моделирования неустойчивостей в замагниченной плазме. Выполнение расчетов за приемлемое время обеспечено не приближениями математической модели, а увеличением эффективности использования компьютера. Моделирование проходит в 3D3V геометрии, решается полная самосогласованная система уравнений Власова-Максвелла, использован форм-фактор второго порядка точности, нет калибровок физических параметров.

Для примера актуального применения численного эксперимента приведено исследование роли вейбелевской неустойчивости во взаимодействии лазерного импульса со слоем плазмы.

Филаментация оказывается одним из самых быстрых процессов, и в результате нее вблизи поверхности плазменного слоя образуются стационарные магнитные поля. Зависимость доли энергии, ушедшей на образование магнитных полей, от амплитуды используемого импульса оказывается немонотонна.

Рассмотрена параметрическая неустойчивость необыкновенной электромагнитной волны в плазме, предварительно нагретой до релятивистской температуры. Получена и исследована автомодельная система нелинейных уравнений в полных производных, учитывающая «тепловую» массу электронов. Малые возмущения параметров нагретой плазмы проанализированы на основе дисперсионного уравнения, определяющего фазовые скорости быстрой и медленной необыкновенных волн в линейном приближении. В отличие от холодной плазмы зона непрозрачности в области частот, превышающих верхнегибридную частоту электронов, исчезает и асимптоты обеих ветвей сближаются.

Теоретический анализ системы нелинейных уравнений показал, что инкремент распадной неустойчивости растет с увеличением начальной температуры электронов плазмы. Этот результат подтверждается выполненным в работе численным моделированием нагрева плазмы инжектированным из вакуума электромагнитным импульсом.

Обсуждается алгоритм построения квадратур Лебедева на сфере, обладающих симметрией группы диэдра, которые не содержат узлов при φ = 0, π/2, π, 3π/2, на полюсах θ = ±π/2 и экваторе θ = 0 сферы. Данная работа является развитием работы А.Н. Казакова и В.И. Лебедева [1]. Аналогично ES_N [2] и S_N [3] квадратурам Карлсона и квадратуры Гаусса-Чебышева G-T_N на сфере [4, 5, 6], узлы построенной квадратуры расположены слоями по сфере с одинаковыми значениями угла θ, что позволяет использовать данную квадратуру для аппроксимации уравнения переноса в криволинейных 2D r,z и r,θ и 3D r,θ,z геометриях. Достоинством данной квадратуры, которую мы обозначим как L_N,M, является ее высокая алгебраическая точность (она точна, также, как и квадратура Гаусса-Чебышева, для всех сферических гармоник Y_l^m(θ, φ) с l <= 2n - 1), которая достигается при меньшем значении узлов квадратуры, чем у квадратуры Гаусса-Чебышева. Квадратура Лебедева L_N,M задается посредством двух параметров: N - порядок квадратуры (число параллелей на полусфере), N=2,4,6,8,..; M - порядок аксиальной симметрии квадратуры: M=1,2,…

Квадратура реализована в 2D и 3D S_N программах КАСКАД-С [6] и КАТРИН [5]. Представлены результаты использования квадратуры при решении практических задач радиационной защиты. Показано, что использование данной квадратуры, приводит, в частности, к уменьшению лучевых эффектов.

• Казаков А.Н., Лебедев В.И. Квадратурные формулы типа Гаусса для сферы, инвариантные относительно группы диэдра // Труды Математического института РАН. – 1994. – Т. 203. – С. 100-111.
• B. G. Carlson, “A method of characteristics and other improvements in solution methods for the transport equation,” Nucl. Sci. Eng., 61, 408 (1976).
• K. D. Lathrop and B. G. Carlson, “Discrete Ordinates Angular Quadratures of Neutron Transport Equation,” Los Alamos Scientific Laboratory Report, LA-3186, 1965.
• I. K. Abu-Shumays, “Compatible Product Angular Quadrature for Neutron Transport in X-Y Geometry,” Nucl. Sci. Eng., 64, 299 (1977).
• А. М. Волощенко, В. П. Крючков, “КАТРИН-2.5 – программа для решения уравнения переноса нейтронов, фотонов и заряженного излучения методом дискретных ординат в трехмерной геометрии,” Инструкция для пользователя, Отчет ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, инв. № 6-21-2011, M., 2011.
• А. М. Волощенко и А. В. Швецов. КАСКАД-С-3.0 - программа для решения уравнения переноса нейтронов, фотонов и заряженного излучения методом дискретных ординат в двумерных геометриях, Инструкция для пользователя, Отчет ИПМ РАН, инв. № 6-2-2014, M., 2014.

В докладе будут представлены некоторые результаты, связанные с применением аппарата дробного исчисления к задаче анализа нестационарных временных рядов. Будут описаны прогностическая модель временного ряда, основанная на эволюционном уравнении относительно его эмпирической функции плотности с дробными производными и численная схема оценки основных параметров этой модели по выборочным траекториям исследуемого временного ряда. Применение описанной процедуры будет проиллюстрировано на примере временных рядов, наблюдаемых на фондовых и финансовых рынках. Также будут обсуждаться вопросы о представлении функций распределения случайных величин дробными интегралами и построении нескольких моделей случайных блужданий: блужданий по регулярным фрактальным множествам и блужданий, ассоциированных с уравнением адвекции - диффузии дробного порядка.

Исходным объектом изучения являются процессы гидродинамики и тепло- и массообмена в двухфазных неравновесных турбулентных потоках (ДНТП) с неоднородными (гетерогенными) распределениями параметров в каналах простой и сложной формы ЯЭУ с ВВЭР. Предмет и цели исследований состоят в разработке корректной квазиодномерной формы законов сохранения массы, импульса и энергии ДНТП, основанной на интегральных соотношениях в виде параметров распределений (ПР) и факторов формы (ФФ), представляющих собой «свёртки» распределений переменных в радиальном и азимутальном направлениях, возникающих в результате применения конечных интегральных преобразований к трёхмерной форме законов сохранения массы, импульса и энергии. По своему физическому и математическому смыслу ПР и ФФ определяют меру отличия реальных пространственных распределений от равномерных типичных для гомогенного одномерного описания. Расширены и обоснованы области определения и значений ПР и ФФ, доказано выполнение «принципа соответствия», представлен ряд приложений в системных кодах, а также при выводе обобщённых критериев для границ областей неустойчивости.

Важной и проблемной сейчас компонентой ядерно-геофизических технологий является компьютерная инверсия данных измерений на основе уравнения переноса частиц. В докладе излагаются подход и итерационные методы для этой инверсии, которые применимы ко многим проблемам восстановления параметров пластов (и поверхностей планет), включая их элементный состав, по данным соответствующих видов каротажа и технологий. В рамках подхода: выделяются «характерные» элементы, взаимодействия, траектории и используются принцип суперпозиции для процессов переноса и линейные априорные ограничения на неизвестные. Итерационные методы и вычисления конкретизируются для задач восстановления коэффициента пористости и элементного состава по данным, соответственно, нейтрон-нейтронного и импульсного нейтрон-гамма (неупругого рассеяния) логов.

Разрядная и лазерная плазма в источниках мягкого рентгеновского излучения является как правило неравновесной, что зачастую приводит к затруднениям в интерпретации экспериментальных данных и неверным оценкам состояния такой плазмы. Различия между реальным состоянием плазмы и теоретическими оценками приводят к сложностям дальнейшего изучения такой плазмы и невозможности оптимизации источников излучения. Результаты моделирования неравновесной плазмы сильно зависят от кинетических и спектральных характеристик. Моделирование излучательных свойств такой плазмы представляет собой непростую задачу из-за необходимости учета многочисленных процессов, протекающих в такой плазме, и решения обширной системы уравнений кинетики.

В настоящей работе обсуждаются результаты моделирования излучательных свойств неравновесной плазмы в спектральном диапазоне 1-8 нм, включающим в себя область спектра излучения непоглощаемого водой (т.н. water-window). Моделирование выполнено с использованием кинетических параметров для столкновительных процессов, расчитанных по модели Хартри-Фока-Слэтера. Исследуется плазма многозарядных элементов, используемых в разрядных и лазерных источниках излучения. Предложены оптимальные параметры плазмы для максимальной интенсивности излучения.

В докладе будет представлен численный алгоритм моделирования случайного процесса с определенными – теоретическими или эмпирическими – эволюционными свойствами выборочной функции распределения. Будет изложена методика анализа нестационарного временного ряда, позволяющая определить необходимые для моделирования свойства ряда: уровень нестационарности в зависимости от длины выборки, индекс нестационарности (индикатор разладки), оптимальная длина выборки для моделирования эволюции функции распределения, оптимальное разбиение гистограммы для представления выборочной плотности функции распределения, а также эмпирические статистики, входящие в модельные эволюционные уравнения – Лиувилля и Фоккера-Планка. Будет приведен практический пример, показывающий важность моделирования пучка траекторий нестационарного случайного процесса для анализа статистических свойств функционалов, заданных на случайной траектории.

Будет рассказано о принципах долгосрочного прогнозирования в энергетике, особенностях программной реализации новой модели, разработанной по заказу ОАО Газпром, о результатах сценарных прогнозов на примере ТЭК США, а также о перспективах использования программы в Росэнерго в рамках создания отечественного комплекса ГИС ТЭК.

Даётся краткий обзор стохастических методов решения кинетического уравнения Ландау-Фоккера-Планка. Показано, что существующие методы укладываются в единую математическую схему квазимаксвелловской аппроксимации.

Обсуждается возможность построения оптимального метода в рамках этой схемы. Приводятся строгие оценки ошибки аппроксимации. Кроме того, кратко обсуждаются основные открытые математические задачи для уравнения Ландау.

Под плазмой понимается система частиц, в которой преобладающим является кулоновское взаимодействие частиц между собой. В такой плазме, как показал Власов, появляется новая коллективная мода - плазменные колебания, а акустическая мода становится изотермической. Сама же плазма представляет собой не газ, а слабую жидкость, в которой работает теория возмущений по взаимодействию частиц.

Представлен краткий обзор современного состояния и перспектив реализации физико-математических моделей двухфазных турбулентных неравновесных потоков (ДТНП) для реакторных кодов анализа переходных и аварийных режимов ЯЭУ.

Обсуждаются следующие проблемы:

• Локальные измерения в ДТНП, эксперименты вблизи кризиса кипения.
• Физико-математическое описание 4-полевой 2-жидкостной модели CFMD, от уравнения Больцмана к модели потока дрейфа.
• "Проклятие размерности": 3D-, 2D-, 1D-, 0D - коды анализа динамики ДТНП, их статус и перспективы.
• Масштабы теплогидравлических процессов и пространственные фильтры, размер контрольного объёма и некоторые оценки трудоёмкости расчётов.
• Рабочий инструмент проектов ЯЭУ ВВЭР и технического обоснования их безопасности - "компонентные коды" + квази-1D модели неравновесных процессов.

Проведено сравнение двух подходов при моделировании лазерной абляции металлов.

Первый подход объединяет молекулярно-динамическую модель и континуальную модель электронной подсистемы, которая позволяет учесть эффекты поглощения лазерного излучения, электронной теплопроводности, передачи энергии в решетку. Атомистическая подсистема позволяет моделировать кинетику процессов плавления, нуклеации, разрушения, испарения.

Второй подход основан на уравнениях двухтемпературной гидродинамики, замыкаемых многофазными уравнениями состояния с метастабильными фазами. Модели поглощения излучения, электрон-фононного обмена и теплопроводности в первом и втором подходах эквивалентны, что позволяет оценить применимость гидродинамической модели на субмикронных масштабах, роль поверхностных эффектов и разработать кинетические модели разрушения твердой и жидкой фаз при сверхбыстром растяжении.

С помощью разработанных подходов проведено моделирование динамики образования абляционного кратера и сделано сравнение с экспериментальными данными.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 13-08-01179 и 13-02-91057.

В докладе основное внимание уделяется специфике использования Метода Конечных Элементов (МКЭ) для решения уравнения переноса на неструктурированной треугольной сетке в приближении дискретных ординат. Метод основан на разложении решения в треугольной ячейке в ряд по линейным базисным функциям и аппроксимации уравнения переноса с корректным учетом разрывов решения на границе ячейки с помощью взвешенных невязок по Галеркину.

Приводятся численные результаты, полученные МКЭ и LN методом с использованием неоднородной задачи с отражателем и вакуумом, которые показали преимущество использования МКЭ на неструктурированных треугольных сетках по сравнению с LN методом на структурированных квадратных сетках.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 13-01-00870 а.

Дается краткий обзор применений системы четно-нечетных кинетических уравнений в моделировании переноса излучений и нейтронов.

Рассматривается преобразование интеграла рассеяния частиц к эквивалентным центрированной и нелинейной алгебраической формам. Явно выделен «нетто»-результат действия двух противоположных процессов - рассеяния частиц из пучка и рассеяния частиц в пучок. Предложен линейный и нелинейный итерационные методы решения системы четно-нечетных кинетических уравнений. Приводятся результаты исследований сходимости итераций на примере одномерной плоской задачи. Показано, что итерационные процессы имеет высокую скорость сходимости.

Построена «точная» по характеристической переменной дискретная (не разностная) схема для решения четно-нечетных кинетических уравнений с обычной, алгебраической и центрированной формами интеграла рассеяния в 1D-геометриях (плоский слой, цилиндр, сфера) и на правильных решетках (2D- и 3D-декартова геометрия).

Рассматриваются вопросы развития математической теории и алгоритмов численной реализации актуальных вычислительных методов теории переноса нейтронов и теории ядерных реакторов:

• методы декомпозиции (разделения, расщепления) области;
• методы граничных интегральных уравнений (ГИУ);
• методы крупных (грубых) сеток;
• многогрупповые методы;
• методы эквивалентных разностей (ЭР);
• методы точечной и многоточечной кинетики;
• методы расчета эффектов реактивности;
• методы идентификации коэффициентов уравнений точечной кинетики;
• расчетно-экспериментальные методы измерения реактивности.

Методами теории положительных операторов в пространствах с конусом устанавливаются основные теоремы, касающиеся существования и единственности решений рассматриваемых задач, а также сходимости методов последовательных приближений для их отыскания.

Малоугловое приближение к решению уравнения переноса излучения часто используется при решении задач в средах с сильно вытянутыми индикатрисами рассеяния и мононаправленными источниками. Такое приближение представляет компоненту решения, отвечающую рассеянию излучения на малые углы от направления излучения источника.

Существующие модели малоуглового приближения используют аналитические формуы и суммирование рядов. Они плохо обобщаются на случай гетерогенной (неоднородной) среды и на алгоритмы расчета в 2-х и 3-х мерных средах.

В докладе представлен новый метод получения малоуглового приближения к решению уравнения переноса в плоском слое. Метод опирается на сеточные аппроксимации уравнения переноса, не использует аналитических приближений и позволит не применять уравнение Фоккера-Планка.

Представлены результаты численных расчетов на сгущающихся угловых сетках для плоского слоя с индикатрисой рассеяния Хеньи-Гринстейна с параметрами асимметрии g=0.85 и g=0.93, что соответствует индикатрисам облака и морской воды соответственно. Время счета полного решения существенно сокращается.

В докладе будут изложены подходы к прогнозированию выборочной плотности функции распределения нестационарного временного ряда на основе кинетических уравнений – Лиувилля и Фоккера-Планка – и доказана корректность эмпирических оценок коэффициентов этих уравнений через значения временного ряда. Для оценки выборочной плотности функции распределения предложен алгоритм оптимального равномерного разбиения гистограммы. Численный эксперимент на стационарных и нестационарных рядах показал близость оптимального разбиения к результату Смирнова по оценке уклонения непрерывной функции от гистограммы. Будут описаны также некоторые индикаторы уровня нестационарности ряда. В частности, будет обсуждаться задача построения согласованного уровня стационарности временного ряда на основе оптимизации длины выборки посредством специального функционала «статистической добротности».

Ядерная энергетика (ЯЭ) на тепловых нейтронах не имеет будущего. ЯЭ на быстрых нейтронах в существующих концепциях проблематична и тоже не имеет будущего. Современные ядерные энергетические установки (ЯЭУ) неконкурентоспособны при процентных ставках экономики выше 10 %/год на свободном рынке энергопроизводства. Однако, это не означает, что ЯЭ вообще неконкурентоспособна и, тем более, нерентабельна. Это означает, что современные проекты ЯЭУ, на которых строится ЯЭ, неконкурентоспособны, а будущая ЯЭ, использующая эти проекты, бесперспективна. Чтобы ЯЭ имела будущее, нужно пересмотреть систему проектирования ЯЭ и ее ядерного топливного цикла (ЯТЦ).

В докладе изучаются особенности решений задач Коши для эволюционных дифференциальных уравнений. Определены процедуры продолжения решения через особенность. Введена операция продолжения преобразования пространства начальных данных посредством усреднения последовательности аппроксимирующих задач.

Подробнее с материалами доклада можно ознакомиться: http://www.keldysh.ru/papers/2012/prep2012_87.pdf

Для моделирования ряда экспериментов, связанных с интенсивным лазерным воздействием, необходим учёт таких эффектов, как поглощение и преломление лазерного луча, а также его отражение от слоя с критической плотностью. Для описания этих эффектов предлагается простая модель, основанная на приближении геометрической оптики. В рамках этой модели поток падающего излучения разбивается на некоторое множество лучей, которые независимо проходят сквозь среду, преломляясь, отражаясь и теряя энергию. Для частичного учёта эффектов поляризации и поглощения за критической поверхностью, которые в ряде случаев являются определяющими, предлагаются различные варианты расширения этой модели геометрической оптики.

Для описания источника EUV-излучения с заданными свойствами была построена модель нестационарной неравновесной излучающей плазмы с учетом поуровневой кинетики и переноса излучения в спектральных линиях. Проведено моделирование разлета и излучения сферической мишени в результате воздействия на нее лазерного импульса. Реализовано численное решение уравнений двухтемпературной 1D-газодинамики в лагранжевой форме. Поле излучения и поуровневая кинетика учитываются самосогласованным образом с применением двух методик: с использованием интерполяции между заранее рассчитанными таблицами спектральных данных и путем включения кинетики in-line в г/д расчет. Получены оценки эффективности конверсии в EUV-излучение для плазмы лития и олова. Данная задача имеет важное прикладное значение для EUV-литографии, применяемой при производстве микрочипов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант РФФИ 12-01-00744-а.

Во многих экспериментах — в особенности при интенсивном лазерном воздействии — важнейшее влияние на динамику плазмы оказывает перенос энергии тепловым излучением. Данный доклад посвящён описанию основных характеристик двумерной РГД программы RALEF, созданной для расчёта подобных экспериментов в рамках международного сотрудничества между ГСИ (Дармштадт), Франкфуртским университетом, ИТЭФ и ИПМ. Основное внимание уделено изложению разработанного численного метода для описания спектрального переноса излучения.

Программа Радуга-6.1(П) развивается для решения стационарных и нестационарных многогрупповых систем уравнений переноса нейтронов и фотонов сеточным методом дискретных ординат в различных системах координат и широких предположениях о свойствах среды и источников на компьютерах со сложной архитектурой.

В докладе приведены основные отличия алгоритмов программы Радуга-6.1(П) от алгоритмов других программ, существующих для решения таких задач, а также информация об эффективности 2-х уровневого алгоритма распараллеливания вычислений.

Приводятся результаты решения задач о переносе излучения в разных средах:

1. нейтронов и гамма-квантов в различных материалах (эксперимент в железо-водном шаре),
2. лазерного излучения и нейтронов в биоткани (неинвазивная диагностика и нейтрон-захватная терапия-NCT),
3. солнечного излучения в облаках и вблизи земной поверхности (зондирование атмосферы),
4. поляризованного солнечного излучения в атмосфере,
5. полей нейтронов в модели реактора ВВЭР-1000.

Представлена реализация предложенной в 1979 г. Д. Либерманом модели среднего атома, погружённого в однородный газ из свободных электронов и внешних ионов, в программе RESEOS. Продемонстрирована плавная зависимость термодинамических величин от температуры и плотности вещества при учёте резонансов плотности состояний в непрерывном спектре. Модель Либермана применена для расчёта спектральных коэффициентов поглощения фотонов в термодинамически равновесной плазме. Для описания поглощения в спектральных линиях использован суперконфигурационный подход. Результаты расчётов уравнений состояния, ударных адиабат, спектральных и усреднённых по Росселанду коэффициентов поглощения фотонов сравниваются с экспериментальными данными и с результатами расчётов по другим моделям.

В докладе излагаются результаты цикла исследований по дистанционному радиозондированию небесных тел Солнечной системы, выполненных автором доклада.

Представлены методики численного моделирования и интерпретации результатов сверхширокополосной глубинной радиолокации внутреннего строения планет и комет, в т.ч. с учетом неоднородностей ионосферной плазмы. Обсуждается вопрос о влиянии дифракционных эффектов в радиозатменных экспериментах по исследованию неоднородных атмосфер и ионосфер планет.

Предложен и развит новый единый общий подход к решению уравнения переноса излучения в средах с сильно анизотропным рассеянием (малоугловое приближение). В рамках предложенного подхода получено решение ряда задач распространения оптического и радиоизлучения в случайных средах. Проведено численное моделирование полей сосредоточенных и распределенных источников в мутных средах, в т.ч. поля узкого светового пучка в среде, решена задача о когерентном усилении обратного рассеяния, и др.

При численных расчетах взрыва одиночных алюминиевых проволочек получено, что вещество, составляющее керны, длительное время находится в состоянии плотной неидеальной плазмы при температуре 1–3 эВ. Только после шунтирования основной части тока короной керн переходит в двухфазное состояние жидкость–пар в процессе расширения. Однако в том случае, если шунтирование основной части тока происходит на раннем этапе взрыва, например, когда большая часть вещества проволочки находится еще в жидком состоянии, возможен другой сценарий формирования структуры керна. В этом случае ввиду резкого падения сжимающего магнитного давления почти до нуля, вещество керна при разгрузке может по инерции проскочить в состояние растянутой жидкости с отрицательным давлением. В соответствии с молекулярно динамическими расчетами при распаде такого метастабильного состояния образуется сложная структура керна: внешняя цилиндрическая жидкая оболочка, заполненная малоплотным веществом в пенообразном состоянии. В дальнейшем пена распадается на капли, прежде чем распадается внешняя оболочка. Результаты расчетов находятся в качественном согласии с экспериментальными данными, полученными при обработке рентгеновских изображений взрывающихся проволочек.

Адаптивные сетки предназначены для оптимизации численного моделирования многомерных задач. Использование таких сеток позволяет получить выигрыш во времени выполнения программы при аналогичной пространственной дискретизации и добиться экономии используемой оперативной памяти. В докладе рассматривается сопряжение многокомпонентной гидродинамики с библиотекой адаптивных сеток Chombo.

Работа посвящена созданию математических моделей активных зон ядерных реакторов. В основу модели положены усовершенствованные методы расчета уравнения переноса не использующих пространственную гомогенизацию. Разработан, создан и верифицирован комплекс программ для нейтронно-физических расчетов активных зон, основанный на усовершенствованных методах расчета реакторов: Методе Поверхностных Гармоник (МПГ) и Методе Поверхностных ПсевдоИсточников (МППИ).

Созданный программный комплекс SVS используется для задач сопровождения эксплуатации реакторов разных типов.

Development of atomic databases and online computational tools for plasma spectroscopy is an important part of the Physical Reference Data program at the National Institute of Standards and Technology (NIST). For many decades NIST was collecting, evaluating and distributing atomic data for needs of spectroscopy, plasma physics, fusion science and many other fields of research. The new, updated and extended, version of the Atomic Spectra Database and three bibliographic databases have been released recently. I will present an overview of the available databases with emphasis on advanced features of the user interface. Also I will describe in detail the collisional-radiative code FLYCHK and show how it can be executed online.

1. Б.Н.Четверушкин Вступительное слово.
2. В.С.Имшенник Кинетические проблемы взаимодействия лазерного излучения с веществом в рамках системы уравнений Максвелла-Власова.
3. О.В.Николаева Алгоритмы решения уравнения переноса с сингулярными источниками.
4. В.В.Веденяпин 150 лет математической кинетической теории.

Современные гетерогенные системы с графическими ускорителями являются не только производительными, но и достаточно сложными в использовании. Для выполнения качественной оптимизации программ требуется знать не только технологии параллельного программирования (такие как NVidia CUDA или OpenCL), но и особенности конкретного вычислителя и диапазон обрабатываемых данных. В докладе на примерах будет показано, как изменение «магических констант» может существенно ускорить или замедлить работу всей программы, а также будет продемонстрирована идея подхода, динамически подстраивающего подобные оптимизационные параметры под связку «обрабатываемые данные + целевая система».

В докладе рассматривается диалоговая система ДИПР, предназначенная для ввода исходных данных, информационного и документального сопровождения пакета прикладных программ РЕАКТОР.

Вводимая пользователем информация накапливается в базе данных системы и может быть использована либо в последующих сеансах, либо преобразуется в форматы, используемые расчетными модулями пакета РЕАКТОР. В системе реализован многоуровневый иерархический доступ к наборам введенных исходных данных.

Диалог строится в виде дружественного интерфейса, включающего наличие развитой справочной поддержки, контроля ошибок при вводе, а также возможности многократного возвращения к работе с одним и тем же элементом ранее введенной информации. Диалог может быть настроен на пользователей различного уровня квалификации. Так, например, квалифицированный пользователь может выбрать режим ввода без подсказок, который более предпочтителен при массовых расчетах и позволяет оперативно изменять исходную информацию.

Реализации ДИПР выполнена в среде программирования Builder C++. При написании системы хранения информации использованы компоненты для работы с таблицами базы данных Paradox, а также процессор баз данных BDE (Borland Database Engine), обеспечивающий связь системы ДИПР с этими таблицами.

Найден класс решений столкновительного кинетического уравнения для электронов, описывающего процесс переноса энергии, которые допускают представления в автомодельных переменных. Эти решения соответствуют постоянной величине отношения длины свободного пробега электронов к характерной длине изменения их средней энергии.

Представляется методика решения уравнения переноса в групповом приближении по энергии с использованием параллельных вычислений на суперкомпьютерах. Методика впервые объединяет идеи метода конечных суперэлементов и Sn-метода для ячеек малого размера и реализована в программах LUCKY и LUCKY_C. Даны результаты расчетов тестовых и модельных задач, реальных задач защиты ядерных реакторов на суперкомпьютерах с большим числом (1000 - 3500) процессоров, использующих MPI стандарт для обмена данными. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными. Даны оценки эффективности параллельного алгоритма для большого числа используемых процессоров и большой сетки (~700 млн. ячеек).

Контакты:

• Новиков Владимир Григорьевич, тел. (495) 250-78-44, novikov@NotDisplayedTextkiam.ru
• Вичев Илья Юрьевич, тел. (495) 250-79-21, vichevilya@NotDisplayedTextkeldysh.ru

В работе исследованы методы численного решения уравнения переноса излучения: метод конечных разностей, разрывный метод Галеркина, метод характеристик. Эффективность методов исследована на ряде простых примеров задач о распространении излучения. Основное внимание уделено качеству аппроксимации оператора переноса.

Изучена применимость методов для гидродинамических моделей астрофизических выбросов. Дана оценка влияния характера дискретизации направлений на такие свойства методов, как монотонность, положительность, "эффект луча".

Разработана физико-математическая модель распространения радиоволн, как в естественной среде, так и в условиях сильных ионосферных возмущений антропогенного происхождения. Физическая часть модели ограничена допущением изотропности среды, электрофизические характеристики которой определяются с учетом ионной составляющей ионизации. Сформулированы критерии, позволяющие определить границы применимости модели для конкретных задач, введено понятие критического угла для волн продольной поляризации (ТМ волн). Введено понятие дополнительного доплеровского сдвига частоты, вызванного прохождением сигналов через неоднородную ионосферу.

Разработан и реализован вычислительный алгоритм, позволяющий на основе классического метода геометрической оптики проводить оценки характеристик радиосигналов в предположении двумерной неоднородности среды с учетом направления градиента коэффициента преломления, определяемого характером этой неоднородности.

При помощи созданного программного комплекса в работе рассмотрены задачи о влиянии различных крупномасштабных неоднородностей естественного происхождения на сигналы навигационных систем ГЛОНАСС–GPS и показана принципиальная необходимость учета горизонтальной составляющей градиента коэффициента преломления среды при оценке отклонений. Также отмечено наличие связи между величиной дополнительного доплеровского сдвига частоты и величиной рефракционного отклонения сигнала.

В плане применения разработанной модели к неоднородностям антропогенного происхождения, рассмотрены задачи о влиянии низкотемпературных неоднородностей нижней части ионосферы на распространение радиоволн диапазонов СДВ–УКВ, включая гигагерцовый диапазон, а также о влиянии высокотемпературных компактных неоднородностей, располагающихся в верхних слоях ионосферы, на характеристики сигналов гигагерцового диапазона частот.

В докладе рассматривается построение и геометрическая интерпретация семейства weighted linear best-weighted linear discontinuous (WLB-WLD) схем для уравнения переноса в декартовых и криволинейных геометриях. Рассматривается проблема построения адаптивного алгоритма коррекции для LB и LD схем 4-ого и 3-его порядка точности, осуществляемого путем перехода на взвешенную схему в зависимости от оценки первых и вторых производных решения в ячейке и обеспечивающего положительность алгоритма. Приводятся численные примеры, демонстрирующие заявленный высокий порядок точности LB и LD схем, а также схем с коррекцией: адаптивной WLB-WLD и адаптивной LD схем в сопоставлении с алмазной (DD) схемой и адаптивной WDD схемой. Рассматривается также построение KP1 схемы ускорения внутренних итераций, согласованной с WLB-WLD схемой.

Современное состояние развития методов моделирования гидродинамических процессов различных масштабов обусловливает необходимость уделять максимально пристальное внимание кинетическим методам расчётов. При этом, безусловно, представляется целесообразным искать существенно новые подходы и обобщения существующей теории неравновесной статистической физики. Очевидно, что наиболее критическими (в смысле как построения общей теоретической концепции гидродинамики, так и в плане практических приложений) аспектами развивающейся общей методологии гидродинамики моделирования являются возможность создания теории турбулентности без включения малообоснованных операций типа усреднения и замыкания со значительным произволом действий, а также развитие чрезвычайно перспективной теории нелокальной динамики дисперсных и многофазных сред. Первое направление позволит, в частности, описать единообразно всю существующую шкалу масштабов турбулентных процессов - как крупномасштабные когерентные структуры (от атмосферных циклонов и океанических течений до астрофизических джетов и поведения аккреционных дисков), так и мезо- и микромаштабы (прикладная газодинамика обтекания и отрыва течения). Второе направление обладает особой практической ценностью для моделирования в прикладных задачах геологии, нефтедобычи и теории фильтрации. Создание формализма и развитие математического аппарата кинетики объектов с внутренней структурой (вихрей различного масштаба) и получения методов расчета возникновения неустойчивостей различных типов на основе теории ветвления решений нелинейных уравнений представляется чрезвычайно интересной и важной народно-хозяйственной задачей, равно как и формирование концепции квазилокальной динамики гетерогенной среды (с использованием диссипативной самосогласованной теории).

В докладе рассмотрена задача подготовки согласованных исходных данных о геометрии и источнике для программ решения уравнения переноса, использующих метод Монте-Карло и метод дискретных ординат. Рассмотрена методика, позволяющая осуществлять аппроксимацию геометрии и источника на пространственной сетке, покрывающей расчётную область, с сохранением локального баланса масс и источника нейтронов; даётся описание соответствующего программного комплекса; приведены результаты апробации разработанных алгоритмов и программ в задачах расчёта радиационной защиты как действующих, так и проектируемых реакторных установок с ВВЭР.

Сохранение локального баланса масс достигается за счёт введения дополнительных смесей материалов для пространственных ячеек, содержащих несколько исходных материалов задачи, в рамках Volume Fraction метода. Для определения объёмных долей исходных материалов и источника в ячейке сетки используется метод лучевого трассирования, реализованный на базе геометрического модуля программы MCU, использующей метод Монте-Карло, позволяющий быстро и с высокой точностью решать эту задачу для реальной геометрии РУ.

Достигнута быстрая сходимость расчётных результатов в зависимости от числа ячеек пространственной сетки как в задачах на критичность, так и в задачах расчёта защиты ВВЭР.

Реализована гибридная методика CADIS, позволившая за счёт использования сопряжённого решения задачи Sn методом по 3D программе КАТРИН существенно уменьшить дисперсию в расчётах защиты при неаналоговом моделировании переноса излучения методом Монте-Карло по программе MCU.

1. Узловые точки в трансмиссионной томографии чисто поглощающих сред (ТТЧПС). Актуальность трансмиссионной оптической томографии (ТОТ). Принципиальные проблемы ТОТ по сравнению с ТТЧПС. Попытка спасти традиционную томографическую схему: приближение "рассеяние прямо назад", ТОТ пропорциональных рассеивающих сред. Измерения во временной области. Баллистические фотоны. Бимодальная форма временных распределений.

Нестационарная осевая модель переноса излучения. Уравнение для полной энергии импульса. Другие подходы. Диффузионная модель и её недостатки. Нелинейная модель и её линеаризация.

2. Работы в России: Москва (МГУ, МИЭТ), Санкт-Петербург, Саратов, Нижний Новгород. Отутствие оптического томографа как прибора.

3. (Коротко) Каф. №1 МИФИ и работы по интегрально-кодовым системам измерений в эмиссионной томографии. Каф. БМС МИЭТ и работы по трансмиссионной оптической томографии.

4. (Коротко) Проблемы фотометрии рассеивающих сред.

В докладе будет представлено описание разработанных автором программ, выполняющих преобразование и визуализацию исходных данных по геометрии и источнику. Выполняются следующие преобразования:

1) 3D комбинаторного представления геометрии задачи (программа MCU, метод Монте-Карло, РНЦ КИ) в формат растровой геометрии (1D, 2D и 3D Sn программы РОЗ-6.6, КАСКАД-С и КАТРИН, ИПМ РАН) с использованием алгоритма лучевого трассирования.

2) Потвэльных и покассетных данных о выгорании для кампании РУ с ВВЭР, рассчитанных программами ПЕРМАК и БИПР (РНЦ КИ), в комбинаторное представление плотности нейтронов деления в формате программы MCU, усреднённое по кампании и учитывающее изменение множественности по мере выгорания топлива.

3) 3D комбинаторного представления источника задачи (программа MCU) в формат растровой геометрии (программы РОЗ-6.6, КАСКАД-С и КАТРИН, ИПМ РАН) с использованием алгоритма лучевого трассирования.

Разработанный алгоритм преобразования из комбинаторного представления в растровое, основанный на использовании алгоритма лучевого трассирования, требует минимальных вычислительных затрат и обладает важным свойством сохранения массы исходных материалов и нейтронов источника деления в каждой ячейке пространственной сетки, покрывающей расчётную область. Таким образом, гомогенизация задачи производится на уровне пространственной разностной ячейки. Свойство локального сохранения массы вещества и нейтронов источника позволяет существенно увеличить скорость сходимости основных функционалов по мере сгущения пространственной сетки при решении реальных гетерогенных задач радиационной защиты и активной зоны ЯЭУ.

Преобразования из комбинаторного представления в растровое реализованы в достаточно общем случае; прикладной задачей, для которой получены основные результаты, является проблема высокоточного трехмерного расчёта радиационной защиты реакторных установок типа ВВЭР, как действующих: ВВЭР-440, ВВЭР-1000, так и проектируемых: ВВЭР-1200, ВВЭР-1500.

В докладе будет рассказано об одном методе редукции систем большой размерности на основе неавтономных первых интегралов, помощью оказывается возможным найти асимптотики траекторий в задаче движения твердого тела с неоднородной активной поверхностью в разреженном газе, а также показать как при варьировании параметров прямолинейная траектория теряет устойчивость, и появляются устойчивые экспоненциально зависящих от времени. Будет показано как с его решения соответствующие движению по круговой орбите.