Келдыш М.В. Творческий портрет по воспоминаниям современников. – М.:Наука, 2002. – С. 46-55 Николай Николаевич Боголюбов,
Основные математические работы М.В. Келдыша посвящены проблемам теории функций, теории потенциала, дифференциальным уравнениям, функциональному анализу. Наиболее обширный цикл трудов М.В. Келдыша по теории функций относится к теории приближений функций комплексного переменного. С этих работ мы и начнем наш обзор. Проблемы теории приближений всегда представляли значительный общематематический интерес, обусловленный не только тем, что их решение создает конструктивный аппарат для представления функций, но и тем, что их решения часто выходят далеко за пределы интересов теории приближений и представляют собой по существу тонкие и глубокие теоремы о свойствах аналитических функций, формулируемые в терминах теории приближений. Связанная с именами К. Вейерштрасса, П.Л. Чебышева, С.Н. Бернштейна, теория приближений в действительной области к 30-м годам представляла изобиловавшую результатами обширную ветвь анализа, методы которой, однако, были специфичны для действительного переменного. Между тем анализ аппроксимационных задач особенно важен в комплексном случае, поскольку именно выход в комплексную плоскость раскрывает подлинную сущность задач и дает возможность решать их с должной полнотой и общностью. Первые результаты по теории приближений в комплексной области содержатся в работах К. Рунге, Э. Бореля, Т. Карлемана, Д. Уолша, а в нашей стране - В.И. Смирнова, М.А. Лаврентьева. Работы М.В. Келдыша по теории приближений функций комплексного переменного охватывают различные разделы этой теории - в соответствии с тем, на каких множествах, в каком смысле, какими функциями и с какой скоростью осуществляются приближения. Фундаментальным работам М.В. Келдыша, в которых окончательно решается вопрос о равномерных полиномиальных приближениях на замкнутых областях, предшествовала важная работа М.А. Лаврентьева, в которой было получено предельно широкое обобщение классической теоремы Вейерштрасса — любая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве функция есть равномерный предел полиномов в том и только том случае, когда множество не разбивает плоскость и не содержит областей. М.В. Келдыш, напротив, обращает свое внимание как раз на тот случай, когда множество состоит из замыкания одной области. После ряда предварительных результатов он приходит к полному решению задачи. Ставшая уже классической теорема М.В. Келдыша формулируется просто: любая функция, непрерывная на замыкании области и аналитическая на множестве его внутренних точек представима равномерно сходящимся рядом полиномов в том и только том случае, когда дополнение к замыканию области есть область, содержащая бесконечно-удаленную точку. Трудно переоценить значение этого результата. Во всей почти столетней истории исследований по равномерным приближениям теорема М.В. Келдыша занимает узловое место, а заложенная в ее доказательстве идея усреднения оказалась весьма плодотворной и позволила в конечном счете дать полное решение общей задачи о том, на каких множествах и к каким функциям могут равномерно сходиться полиномы. Следует подчеркнуть, что теорема М.В. Келдыша лежала у истоков множества последующих исследований по проблемам, выросшим на реальной почве теории приближений и уходящим своими интересами далеко за ее пределы - в алгебру, функциональный анализ; достаточно назвать в качестве одного лишь примера бурно развивающуюся в настоящее время теорию банаховых алгебр. Переходя от равномерной сходимости полиномов к точечной (неравномерной) сходимости, М.В. Келдыш рассматривает чрезвычайно сложную и вместе с тем предельно просто формулируемую задачу, лежащую на грани между теорией функций действительного переменного и теорией аналитических функций. Речь идет о том, чтобы описать те функции на окружности, которые в каждой ее точке являются пределом сходящейся последовательности полиномов, равномерно ограниченных в своей совокупности. Два условия, налагаемых на функцию, с очевидностью необходимы - она должна быть из первого класса Бэра и являться граничным значением некоторой аналитической внутри окружности функции. М.В. Келдыш доказал возможность указанного представления при дополнительном ограничении на функцию, состоящем в том, чтобы мера множества ее точек разрыва равнялась нулю. Со времени этой работы прошло уже более четырех десятилетий, но и по сей день результат М.В. Келдыша остается наиболее сильным результатом по проблеме Бэра для модельного случая окружности: никому не удалось выяснить, останется ли теорема справедливой, если отбросить дополнительное условие М.В. Келдыша на меру множества точек разрыва. Продолжая изучение аппроксимационных возможностей классического аппарата анализа - полиномов, М.В. Келдыш рассматривает проблемы средне-квадратических приближений по площади области, когда близость между функцией и приближающим ее полиномом измеряется через интеграл по площади области от квадрата модуля разности между ними. До работ М.В. Келдыша было известно, что средне-квадратическая полнота полиномов имеет место в областях типа Каратеодори. Так называются области, граница которых совпадает с границей той из дополнительных к ее замыканию областей, которая содержит бесконечно удаленную точку. Чтобы оттенить сущность этого условия и его отличие от условия на область в теореме М.В. Келдыша о равномерных приближениях, достаточно заметить, что плоскость может быть разбита на любое конечное или бесконечное число непересекающихся областей, полные границы которых тождественны между собой. Как видно из определения, области типа Каратеодори определяются чисто топологическим свойством. Фундаментальные работы М.В. Келдыша по приближениям в квадратичной метрике начинаются с рассмотрения примера области, ограниченной двумя внутренне соприкасающимися кривыми. М.В. Келдыш впервые на примере этой области обнаружил факт большого принципиального значения - в некаратеодориевых областях полнота или неполнота полиномов определяется метрическими свойствами области. В рассмотренном М.В. Келдышем примере области типа "луночки" такой метрической характеристикой является толщина области вблизи кратной граничной точки. Исключительно важным является установленный им общий метрический критерий полноты для широкого класса некаратеодориевых областей. Этот результат был установлен М.В. Келдышем с помощью развитого им так называемого метода вывода полюсов, который оказался чрезвычайно плодотворным во многих задачах, и возможности которого и на сегодня далеко не исчерпаны. М.В. Келдыш изучал также проблему полноты системы полиномов в квадратичной метрике с весом. Его работы в этом направлении открыли по существу новую страницу в теории приближений; обнаруженные им явления затрагивают глубинные свойства аналитических функций, саму природу аналитичности. С помощью упомянутого выше метода вывода полюсов он установил общее достаточное условие на весовую функцию, гарантирующее полноту системы полиномов в произвольной односвязной области. В ряде работ М.В. Келдыш рассматривает проблемы теории равномерных приближений посредством целых аналитических функций. Не делая каждый раз соответствующих оговорок, заметим, что в этом направлении, так же как и в некоторых других разделах теории функций и теории потенциала, ряд работ выполнен М.В. Келдышем совместно с его старшим коллегой и научным руководителем по аспирантуре М.А. Лаврентьевым. Переход от полиномов к целым функциям меняет характер поведения аппроксимирующих функций на бесконечности - вместо полюса появляется существенная особенность, что значительно расширяет аппроксимационные возможности и позволяет ставить новые задачи. Одной из таких задач является приближение с касанием на бесконечности, когда требуется не только малость отклонения аппроксимируемой функции от аппроксимирующей всюду на множестве (предполагаемом неограниченным), но и быстрое убывание к нулю указанного отклонения при стремлении точки к бесконечности. Под мерой касания понимается скорость этого убывания. Огромное влияние на последующее развитие теории оказала полученная М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым теорема, в которой дается исчерпывающее описание континуумов Карлемана. Так называются неограниченные замкнутые множества, на которых любая непрерывная функция допускает равномерные приближения целыми функциями с произвольно высокой скоростью касания на бесконечности. Оказалось, что помимо очевидных условий отсутствия внутренних точек у континуума и ограниченных компонент у его дополнения, решающим свойством является локальная связность континуума в бесконечно удаленной точке. Далее М.В. Келдыш исследует проблемы равномерного приближения с касанием в неограниченных замкнутых областях при естественном предположении об аналитичности функции внутри области. При этом уже произвольной скорости касания ожидать нельзя - каждый раз предельно возможная скорость касания определяется геометрией области вблизи бесконечности. Для всех наиболее характерных типов областей М.В. Келдыш указывает соответствующий им допустимый порядок касания и устанавливает точность найденных им скоростей. Поразительным является обнаруженный им факт существования универсального гарантированного порядка касания при аппроксимации целыми функциями в любой области, граница которой представляет линию, начало и конец которой расположены в бесконечно удаленной точке. Созданные М.В. Келдышем новые и весьма глубокие конструктивные методы позволили ему решить основные проблемы теории приближений целыми функциями. Не перечисляя найденных им замечательных теорем, укажем только, что в самом общем случае оказалось возможным обнаружить и установить точную количественную связь между свойствами множества, свойствами определенных на них аппроксимируемых функций, скоростью касания и порядком роста аппроксимирующих целых функций. Большой интерес представляет классический случай равномерных приближений целыми функциями на всей действительной оси. Рассматривая дифференцируемую на оси функцию, производная которой имеет алгебраический рост на бесконечности, М.В. Келдыш доказал, что такая функция может быть аппроксимирована целыми функциями, порядок которых на единицу превосходит алгебраический порядок роста ее производной и этот результат неулучшаем. Сейчас уже очевидно, что теоремы описанного выше характера играют основную роль в самых разнообразных вопросах функционального анализа, использующих аппарат целых функций. Можно с уверенностью утверждать, что фундаментальные труды М.В. Келдыша, о которых говорилось выше, развитые в них идеи, методы и постановки составили основу современной теории приближений целыми функциями в комплексной области и легли в основу многих последующих исследований, с успехом продолжающих и в настоящее время. Исключительная конструктивная сила в математическом творчестве М.В. Келдыша ярко проявилась, в частности, в работе, посвященной полноте ортогональных по контуру полиномов. Эти полиномы обобщают обычные целые степени комплексного переменного, порожденные окружностью, на произвольную замкнутую кривую линию с конечной длиной. Дело в том, что еще в конце 20-х годов В.И. Смирнов, рассматривая ортогональные по контуру полиномы, установил их средне-квадратическую полноту в предположении, что ограниченная этим контуром область удовлетворяет условию, получившему название условия Смирнова. Оно состоит в том, что логарифм модуля производной функции, конформно отображающей круг на область, представим интегралом Пуассона. Практически все области со спрямляемой границей, с которыми до того имели дело, удовлетворяли этому условию и казалось, что остается добавить только последний штрих, а именно, показать, что иных областей нет, как все станет на место и картина будет предельно ясной - как и степенные функции на окружности, ортогональные по контуру полиномы будут полны в соответствующем классе функций; при этом отпало бы само понятие областей Смирнова. Многочисленные попытки установить это не приносили успеха. И вот, в одной из работ М.В. Келдыша, выполненных совместно с М.А. Лаврентьевым, посредством конструкции, в высшей степени виртуозной, был построен неожиданный для всех пример области, не удовлетворяющей условию Смирнова. Построенная область отличается целым рядом замечательных свойств, в которые трудно было поверить, до того, как ее существование получило строгое обоснование. К их числу относится то, что при конформном отображении области на круг любая дуга границы области переходит в дугу окружности той же длины; система ортогональных по ее границе полиномов не полна; в области существует аналитическая функция, представимая интегралом Коши через свои граничные значения и не удовлетворяющая принципу максимума: почти всюду на границе ее модуль равен единице, а во внутренних точках области он превосходит единицу. Важное место в математических исследованиях М.В. Келдыша занимают его работы по проблеме Дирихле для уравнения Лапласа. Эта проблема заключается в том, чтобы найти гармоническую в данной области функцию, принимающую на ее границе наперед заданные непрерывные значения. В ряде предшествующих работ были предложены различные методы решения этой задачи, которые приводили к одной и той же функции - обобщенному решению задачи Дирихле. Выяснилось, что совпадение решения с граничными данными невозможно требовать во всех граничных точках и были найдены критерии регулярности граничной точки, гарантирующие совпадение решения с граничными значениями в данной точке. В ряде приложений гармонических функций важно было следить за ее поведением при вариации границы области. В этой связи М.В. Келдыш впервые поставил принципиально новый вопрос качественного характера - при любых малых изменениях границы фиксированной области и произвольных граничных данных будет ли соответственно мало изменяться решение задачи Дирихле внутри области, в данной граничной точке, во всей замкнутой области? Ответы на эти три вопроса зависят только от области и выбранной на ее границе точки. В соответствии с этим М.В. Келдышем были введены важнейшие для всей теории понятия устойчивости задачи Дирихле внутри области, в данной граничной точке, во всей замкнутой области, дан исчерпывающий анализ этих понятий, связей между ними и разрешимостью задачи Дирихле, установлено необходимое и достаточное условие того, чтобы граничная точка была точкой устойчивости. Вот три главные теоремы М.В. Келдыша, без которых невозможно себе представить современную теорию потенциала. Для того, чтобы задача Дирихле была устойчивой внутри области при любых непрерывных данных на границе необходимо и достаточно, чтобы множество точек неустойчивости имело гармоническую меру нуль. Для устойчивости в замкнутой области необходимо и достаточно, чтобы каждая граничная точка была точкой устойчивости. Если задача Дирихле разрешима в области и устойчива внутри нее, то она будет устойчивой и в замкнутой области. Кроме того, были обнаружены связи между свойствами устойчивости и проблемой равномерных приближений, что позволило М.В. Келдышу установить необходимое и достаточное условие того, чтобы любая непрерывная функция, гармоническая внутри области, допускала представление в виде равномерно сходящегося ряда гармонических полиномов. В этом цикле работ наблюдается особенность, характерная и для других математических исследований М.В. Келдыша - общая теория сопровождается конструкцией уникальных примеров, подчеркивающих сущность новых явлений. Так, наряду с общей теорией устойчивости, М.В. Келдыш в работе, выполненной совместно с М.А. Лаврентьевым, построил пример области - здесь и выше - в трехмерном пространстве - ограниченной жордановой поверхностью с конечной площадью, в которой задача Дирихле разрешима при любых непрерывных данных, но неустойчива внутри области. Множество точек неустойчивости имеет поверхностную меру нуль, но положительную гармоническую меру. Особое место занимает работа М.В. Келдыша, в которой он рассматривает произвольный линейный оператор, переводящий любую непрерывную на границе функцию в некоторую гармоническую внутри области функцию и к которому предъявляются два требования: во-первых, он должен совпадать с классическим решением задачи Дирихле, во всех случаях, когда оно существует, и, во-вторых, верхняя грань значений оператора внутри области не превосходыит максимума граничных данных. При этом доказывается, что единственным оператором, удовлетворяющим этим минимальным требованиям, является обобщенное решение задачи Дирихле. Этот результат завершил построение теории разрешимости задачи Дирихле с непрерывными граничными условиями. В целом можно утверждать, что только в итоге работ М.В. Келдыша, из коих мы остановились лишь на наиболее важных, классическая теория, относящаяся к проблеме Дирихле, приобрела нынешнюю полноту и стройность. Уже давно было замечено, что при решении многих задач механики, физики, техники существенную роль играет спектральная теория линейных операторов, относящаяся как к самосопряженным, так и к несамосопряженным операторам. Именно к этим проблемам - решению принципиально новых и весьма трудных вопросов теории несамосопряженных операторов - привели М.В. Келдыша его работы по теории колебаний систем с диссипацией механической энергии, имевшие большое прикладное значение. В отличие от классической спектральной теории самосопряженных операторов, теория несамосопряженных операторов с дискретным спектром, несмотря на усилия многих выдающихся математиков мира, развивалась медленно и до конца 40-х годов относилась в основном лишь к обыкновенным дифференциальным операторам с простейшими, так называемыми регулярными граничными условиями. В 1951 году М.В. Келдыш опубликовал результаты своих исследований по спектральной теории несамосопряженных операторов. В этой работе он впервые рассматривает широкий класс абстрактных операторов в гильбертовом пространстве, полиномиально зависящих от спектрального параметра - сейчас такие семейства операторов называются пучками Келдыша. Главными задачами здесь являются вопросы полноты собственных и присоединенных векторов и вопросы распределения собственных значений. Именно на эти задачи и даются исчерпывающие ответы в упомянутой выше работе. М.В. Келдыш вводит важнейшее понятие n-кратной полноты системы собственных и присоединенных векторов (теперь ее называют кратной полнотой по Келдышу) и с помощью весьма тонких оценок резольвенты исследуемых операторов устанавливает фундаментальную теорему об n-кратной полноте. При исследовании распределения собственных значений пучка операторов М.В. Келдыш столкнулся с необходимостью применения тауберовых теорем совершенно нового типа. Если это способно что-либо пояснить, то заметим, что теоремы "тауберова типа" — это утверждения, которые позволяют по порядку роста на бесконечности того или иного интегрального преобразования функции делать заключения о порядке роста на бесконечности самой функции. Имевшиеся до того времени теоремы тауберова типа были плохо приспособлены к исследованию асимптотики собственных значений и на операторы пришлось бы наложить слишком жесткие ограничения. М.В. Келдыш решил эту задачу, открыл новую тауберову теорему и разработал новый метод доказательства таких теорем. Сразу же эта теорема нашла многочисленные применения в различных разделах математики. Цикл работ М.В. Келдыша по несамосопряженным операторам имел принципиальное значение для развития всей теории, а глубокие идеи, заложенные в них и тонкие аналитические методы позволили М.В. Келдышу получить фундаментальные результаты в теории несамосопряженных операторов и предопределили развитие этой теории на многие годы. И поныне идеи и методы М.В. Келдыша широко используются в спектральной теории несамосопряженных операторов - как абстрактных, так и дифференциальных. В связи с проблемой создания надежных методов борьбы с флаттером, М.В. Келдыш провел анализ применимости метода решения краевых задач Галеркина к неконсервативным системам. В случае вариационных задач метод Галеркина совпадает по существу с методом Ритца, однако способ применения этого метода, предложенный Галеркиным, не связан с вариационной задачей, определяющей дифференциальные уравнения и может быть применен к несамосопряженным задачам. В фундаментальном исследовании М.В. Келдыш рассматривал как обыкновенные дифференциальные уравнения любого четного порядка, так и уравнения с частными производными эллиптического типа и установил при общих ограничениях на систему приближающих функций сходимость решений и сходимость собственных значений. Тем самым им установлена применимость этого эффективного метода численного интегрирования дифференциальных уравнений к широкому кругу задач механики и математической физики. Огромный талант ученого-математика, тонкого аналитика в сочетании с глубокой интуицией инженера-механика и экспериментатора позволяли М.В. Келдышу с большим искусством обращать весь арсенал средств современной математики на эффективное решение насущных практических проблем новой техники, промышленности, обороны. В то же время многие его работы позволяют проследить как бы "обратную связь" между практикой и теорией и раскрывают ту яркую особенность его творчества, которая заключается в умении распознать в конкретности той или иной прикладной задачи лежащую в сокровенной ее основе общую идею, приводящую к принципиально новым и весьма содержательным постановкам в самой фундаментальной математике, обогащающим ее проблематику. Одним из многочисленных тому примеров служит работа М.В. Келдыша об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на части границы области, возникшая под влиянием его исследований по трансзвуковой газодинамике. В этой работе впервые было обнаружено, что для эллиптических в области и вырождающихся на части границы уравнений при некоторых условиях часть границы области освобождается от задания граничных условий. При этом решение краевой задачи Келдыша можно рассматривать как стационарное распределение температуры в движущейся жидкости. Эта небольшая по объему работа имела широкий резонанс во всем мире и положила, по существу, начало теории эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Математическое творчество М.В. Келдыша неразрывно связано с его педагогической работой. Еще с весны 1930 г. он преподает в электромашиностроительном институте и быстро завоевывает там репутацию лучшего преподавателя математики. В дальнейшем, на протяжении десятилетий он являлся профессором Московского университета, где с блеском читал целый ряд основных и специальных курсов, руководил аспирантами. Семинары М.В. Келдыша в МГУ всегда являлись значительным событием в математической жизни Москвы. Его занятия с аспирантами отличались исключительной научной отдачей, вниманием и вместе с тем высокой требовательностью. Поражало, как при всей своей невероятной занятости он находил время и силы для работы с ними. Часто занятия с аспирантами происходили у него дома, начинались в десятом часу вечера, а заканчивались далеко за полночь. Научное руководство молодыми учеными со стороны М.В. Келдыша всегда останется эталоном отношений руководителя к аспиранту, учителя к ученику. Велико влияние М.В. Келдыша на развитие математической культуры в различных центрах нашей страны. Приведем лишь один пример, который любил вспоминать сам Мстислав Всеволодович. В мае 1940 г. он вместе со Станиславой Валериановной провел месяц в Армении, где читал по 4 часа ежедневно курс лекций, посвященных теории приближений и полученным им новым результатам в этой области, ставил много нерешенных задач. Величайшее искусство, с которым читались лекции, умение раскрыть всю красоту проблематики, увлечь новыми постановками привели к тому, что прочитанный им цикл лекций оказал определяющее воздействие на зарождение современной математическойлнколы в этой республике и предопределил ее научные интересы на многие последующие годы. Известно, что М.В. Келдыш лично не занимался научно-техническими проблемами конструирования новых электронно-вычислительных машин, однако роль его в становлении и развитии отечественной вычислительной техники весьма велика. Будучи одним из главных "потребителей" ЭВМ, он с исключительной ясностью сознавал важность ЭВМ для дальнейшего успешного развития науки и народного хозяйства. Зная лучше, чем кто-либо, задачи, подлежащие решению на ЭВМ, он мог лучше, чем кто-либо, формулировать и требования к новым ЭВМ. Не будучи облечен этими функциями официально, М.В. Келдыш был как бы "главным государственным заказчиком" на разрабатываемые в нашей стране новые средства вычислительной техники. Его заинтересованное, компетентное и критическое отношение к создаваемым ЭВМ и надведомственная научная идеология во многом способствовали выбору правильных путей развития отечественной вычислительной техники. Еще в годы возникновения первых отечественных ЭВМ он подчеркивал важность математических разработок в общем комплексе работ по созданию новых ЭВМ, указывая, что не столько элементная и техническая база, не столько инженерные схемные проработки, сколько математический замысел машины, идеи функциональной целесообразности должны лежать в основе и определять облик будущей машины. Он обращал особое внимание на необходимость непрерывного расширения работ по математическому обеспечению выпускаемых машин, указывая на стремительное увеличение доли математического обеспечения в общем балансе интеллектуальных и материальных затрат на создание новых вычислительных машин. В первые послевоенные годы перед нашей страной встали задачи огромной государственной важности - овладение ядерной энергией, создание ракетно-космического комплекса. Их решение было бы немыслимо без разработки новых методов научного исследования, без создания принципиально новых и высокоэффективных методов и средств математических расчетов. Трудности решения этих задач усугублялись и крайней ограниченностью имевшихся к тому времени средств вычислительной техники. Советские математики с честью справились с поставленными перед ними задачами и в успешном их решении неоценима личная заслуга М.В. Келдыша - и как автора, творца новых вычислительных методов и алгоритмов, и как руководителя большим коллективом ученых. Трудно себе представить эти успехи отечественной науки без величайшего искусства М.В. Келдыша-математика и инженера глубокой интуиции. Решение в кратчайшие сроки важнейших задач новой техники в условиях крайней ограниченности в ту пору технических средств расчета вызвали изумление и восхищение не только у нас в стране, но и далеко за ее пределами. Работы М.В. Келдыша и возглавляемых им коллективов явились важной составной частью титанического труда всего советского народа по созданию ракетно-ядерного щита нашей Родины. Именно с М.В. Келдышем связано прежде всего становление в нашей стране современной вычислительной математики. Не останавливаясь подробно на всех выполненных М.В. Келдышем работах по вычислительной математике, отметим лишь, что такие его исследования, как работа "Решение задачи об осесимметричном движении газа с ударной волной", совершенно преобразовали наши представления о границах возможного, позволили не только решить краевые задачи для нелинейных уравнений газовой динамики, но и дать решение разностными методами чрезвычайно трудных нестационарных двумерных задач газовой динамики. Идеи и методы, заложенные в трудах М.В. Келдыша, предопределили современное развитие отечественной вычислительной математики и, в первую очередь, численных методов решения многомерных задач гидро- и газодинамики и математической физики. Накопленный потенциал позволил с успехом решать эти задачи с учетом таких особенностей, как теплопроводность, диффузия, вязкость и химические реакции. Можно с уверенностью сказать, что последующее интенсивное развитие вычислительных методов коренным образом преобразовало общенаучное значение вычислительной математики и вывело ее из разряда подсобных средств исследования в могущественное средство повышения эффективности научного поиска, незаменимое при изучении сложных явлений механики, физики, техники. 10 февраля 1981 г. | |||||
| |||||
