Частные производные

Описанными в предыдущих разделах методами можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Чтобы вычислить частную производную по некоторому аргументу численным методом, необходимо предварительно задать значения всех прочих аргументов. Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков.

MathCAD-программе  иллюстрирует расчет первых и вторых (включая смешанную) производных аналитически заданной функции.

В качестве примера использования частных производных приведем два расчета, которые часто встречаются в вычислительной практике, снабдив их примерами в формате MathML.

Программная реализация первого из них, посвященная вычислению градиента функции двух переменных,приведена в MathCAD-программе   .
В качестве примера взята функция f(x,y), определяемая в первой строке листинга, график которой показан в виде линий уровня на рис. Как известно, градиент функции f(x,y) является векторной функцией тех же аргументов, что и f(x,y), определенной через ее частные производные, согласно второй строке листинга. В оставшейся части листинга необходимым образом задаются ранжированные переменные и матрицы, необходимые для подготовки графиков функции и ее градиента

Часто приходится иметь дело с вычислением производных векторных функций. Например, в различных областях математики мы сталкиваемся с проблемой вычисления якобиана (или матрицы Якоби) - матрицы, составленной из частных производных векторной функции по всем ее аргументам. Пример вычисления якобиана векторной функции f(x) векторного аргумента x приведен в MathCAD-программе   . В нем для определения частных производных якобиана, каждый i-й скалярный компонент f(x)_i дифференцируется по каждому из аргументов.