Метод прямоугольников и трапеций

Геометрический смысл определенного интеграла функции f(x) заключается в площади фигуры, образованной этой функцией и осью OX. Поэтому самый простой способ посчитать определенный интеграл от "хорошей" (т.е. гладкой, неосциллирующей, без особенностей и т.п.) функции - применить формулу прямоугольников или трапеций. C помощью этих формул площадь упомянутой искомой фигуры подсчитывается как сумма элементарных прямоугольников (или трапеций), множеством которых заменяется подынтегральная функция f(x). Иллюстрация метода прямоугольников приведена на рисунке:

Для подсчета интеграла интервал интегрирования [a,b] разбивается на N отрезков. На каждом из отрезков f(x) заменяется прямоугольником с шириной   и высотой f(x_i). При этом точка x_i может выбираться, к примеру, как начало каждого элементарного отрезка, либо как его центр. Как несложно убедиться, формулы прямоугольников для этих двух случаев запишутся в виде:

(формула прямоугольников 1)
(формула прямоугольников 2)

Вторая формула дает намного лучшую точность интегрирования, из-за чего первая практически никогда не применяется.

Альтернативный вариант - замена f(x) ломаной линией (с вершинами в концах элементарных отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования), т.е. аппроксимация искомого интеграла множеством элементарных трапеций. Формула трапеций такова:

Здесь можно просмотреть MathCAD программу 

Очевидно, что при стремлении h к 0, множество прямоугольников (или трапеций) стремится к искомой фигуре, образованной подынтегральной функцией, а численный результат - к истинному значению интеграла. Можно показать, что формулы прямоугольников обеспечивают второй порядок аппроксимации интеграла, т.е. погрешность его вычисления пропорциональна h², а формула трапеций - третий. Результат зависимости от числа N погрешности вычислений интеграла от тестовой функции по трем формулам численного интегрирования показан на рисунке:

График погрешности интегрирования в зависимости от h построен при помощи MathCAD