Метод Симпсона

Основная идея более точных методов интегрирования состоит в интерполяции подынтегральной функции f(x) некоторой зависимостью y(x) и расчете интеграла уже от этой функции. Важно, чтобы при этом:
А) интеграл от y(x) мог быть точно расчитан аналитическими методами;
Б) функция f(x) была бы по возможности ближе y(x), чтобы уменьшить погрешность.

Очевидно, что наиболее простой алгоритм, заключается в интерполяции подынтегральной функции на каждом из N шагов интегрирования f(x) каким-либо полиномом y(x). Известно, что может быть предложены различное пути построения интерполирующих полиномов, отличающихся, в частности, порядком m. В частности, полиномы Лагранжа строятся при интерполяции f(x) в n точках на каждом из N элементарных интервалов, на которые разбивается интервал интегрирования [a,b]. Семейство алгоритмов интегрирования в этом случае называется методами Ньютона-Котеса.

Если n=1, то полиномом является прямая линия, т.е. фактически получается метод трапеций. Если же взять n=2, то интерполирующим полиномом y(x) на каждом шаге интегрирования будет квадратичная парабола, а сам алгоритм называется методом Симпсона. Несложно получить формулу этого метода для всего интервала интегрирования [a,b]:

Можно показать, что погрешность метода Симпсона пропорциональна h⁵, т.е. на два порядка выше точности метода трапеций!