Об ОДУ

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных (см. следующую главу). Таким образом, решить (иногда употребляют другое слово проинтегрировать) дифференциальное уравнение -значит определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. В соответствующих курсах высшей математики доказываются теоремы о существовании и единственности решения в зависимости от тех или иных условий. Имеются два типа задач:
1. задачи Коши - для которых определены начальные условия на искомые функции, т. е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения; 
2. краевые задачи - для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала.

Как правило, решение задач Коши для ОДУ и их систем - задача, хорошо разработанная и с вычислительной точки зрения не слишком сложная. Большое значение здесь имеет представление результатов и анализ зависимостей решения от различных параметров системы. 

Между тем, имеется целый класс ОДУ, называемых жесткими, который не поддается решению стандартными методами, типа методов Рунге-Кутты. Для них имеются специальные алгоритмы.