Уравнения в частных производных > Явная схема Эйлера 

ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ЭЙЛЕРА


  • Рассмотрим линейное уравнение диффузии , описывающее распределение температуры u(x,t) вдоль стержня (от x=0 до 1) в момент времени t:


  • коэффициент диффузии:

  • источники тепла отсутствуют:

  • поддержание постоянной температуры на краях стержня:

  • начальное распределение температуры (см. график):
  • Покрываем расчетную область сеткой

шаг по времени:
число точек по оси X:
соответственно, пространственный шаг:

дискретизация начального условия на сетке
Заменяем на сетке исходное дифференциальное уравнение
его разностной аппроксмацией в соответствии с шаблоном (см.рис.):
Выписанные равенства определяют (N-1)M линейных алгебраических уравнений относительно (N+1)(M+1) неизвестных чисел ui,n (искомых значений функции в узлах сетки).
Еще M+1 равенств дадут начальные условия (для ui,0) и еще 2N равенств дадут граничные условия (для u0,i).
Уравнения образуют разностную явную схему Эйлера.
Решение этой системы уравнений очень просто, т.к., зная ui,n для можно явно выразить через них искомые ui,n+1 (на следующем шаге по времени):