Уравнения в частных производных >  Условие Куранта

Условие Куранта


  • Мы рассматриваем линейное уравнение диффузии , описывающее распределение температуры u(x,t) вдоль остывающего стержня (от x=0 до 1) в момент времени t.


  • коэффициент диффузии:

  • источники тепла отсутствуют:

  • поддержание постоянной температуры на краях стержня:

  • начальное распределение температуры (см. график):
Решая уравнение диффузии по явной разностной схеме Эйлера, мы получили правильное решение для следующих параметров расчетной сетки:

шаг по времени:
число точек по оси X:
соответственно, пространственный шаг:

дискретизация начального условия на сетке
Разностное решение для этих шагов можно увидеть здесь.
 Следующее выражение для шагов сетки называют соотношением Куранта.
Можно показать, что явная разностная схема Эйлера для задачи диффузии является устойчивой, если соотношение Куранта меньше 1.
 Если же оно превышает 1, то разностная схема неустойчива, и ее ответ неверен.
Рассмотрим увеличенный шаг по времени, который даст соотношение Куранта большее 1:
Та же явная схема Эйлера:
А вот, как выглядит решение по этой схеме на первых же шагах по времени:
Из физических соображений очевидно, что это решение неверно. О неустойчивости схемы говорит характерная "разболтка" сеточного решения.
Советую читателю поэкспериментировать, посмотрев, что будет происходить на следующих шагах по времени, а также взяв другие значения пространственного и временного шага и коэффициента диффузии.