Уравнения в частных
производных > Неявная схема Эйлера
НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ЭЙЛЕРА
Составим теперь неявную схему на сетке:
Заменяем на сетке исходное дифференциальное уравнение
его разностной аппроксмацией в соответствии с шаблоном (см.рис.):
Теперь надо выразить через искомые ui,n+1 (на следующем шаге, или по-другому, слое, по времени) через ui,n. В отличие от явной схемы Эйлера, неизвестные на новом слое связаны между собой в линейное уравнение. Поэтому для нахождения массива u для каждого нового слоя требуется решить систему уравнений. Выпишем ее в привычном виде (приводя подобные слагаемые в последнем равенстве)
Достаточно записать эту СЛУ в определенном формате, чтобы решить ее при помощи встроенной функции MathCAD:
граничные условия:
Тогда реализация неявной схемы запишется в виде:
И вот, как будет выглядеть решение, несмотря на отношение Куранта:
Сравните расчеты по неявной схеме с расчетами по
явной схеме Эйлера
.
Дополнительная информация о структуре матрицы системы уравнений неявной схемы А и о методах ее решения находится здесь.
