Уравнения в частных производных > Уравнение переноса
Уравнение переноса
Линейное одномерное уравнение переноса – простейшее дифференциальное уравнение
в частных производных – записывается в виде 
(1) 
(скорость переноса равна 1, перенос слева –
направо).
Решения этого уравнения (в три последовательных момента
времени) показаны на рисунке в виде трех профилей, распространяющихся
слева-направо вдоль оси Х:
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА КОШИ - решить (1)сначальнымусловиемU(x,t=0)=
f(x) илевымграничнымусловием,напримерU(tx=0,t)=0.
СХЕМЫ ЭЙЛЕРА. Для численного решения уравнения переноса применяют разностные
схемы. Простанственная область (ось Х) покрывается равномерной сеткой,
выбирается шаблон, и уравнение с помощью метода конечных разностей (1)
записывается в разностной форме. Для решения разностных уравнений применяются
схемы бегущего счета [1], которые ведут себя как явные.
ПРИМЕР 
состоит из следующих этапов:
· Запуск Java–апплета с помощью любого браузера.
· Выбор левого граничного условия (нуль либо другая константа) и начального
условия (отрезок гладкой гармонической функции, либо разрывная функция
типа прямоугольного импульса).
· Выбор количества точек пространственной сетки и шага по времени.
· Выбор разностной схемы.
· Численное решение однородного линейного уравнения переноса методом
бегущего счета с помощью одной из четырех разностных схем.
ЗАДАЧИ:
· Изучить метод конечных разностей (сеток) решения дифференциальных
уравнений в частных производных. Полезно записать в разностном виде уравнение
переноса с использованием каждой сетки, определить порядки аппроксимации
и условия устойчивости для каждой из схем.
· Выписать для каждой из схем первое дифференциальное приближение.
Уяснить, какие схемы называют диссипативными и что такое псевдовязкость.
· Поэкспериментировать, как ведут себя разные схемы при расчетах с
разными шагами на гладких и разрывных решениях.
ЛИТЕРАТУРА. [1] Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978, гл.
X.; [2] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику М., МФТИ, 1984,
с. 141 –180.
(1)
(скорость переноса равна 1, перенос слева – направо).
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА КОШИ - решить (1)сначальнымусловиемU(x,t=0)= f(x) илевымграничнымусловием,напримерU(tx=0,t)=0.
СХЕМЫ ЭЙЛЕРА. Для численного решения уравнения переноса применяют разностные
схемы. Простанственная область (ось Х) покрывается равномерной сеткой,
выбирается шаблон, и уравнение с помощью метода конечных разностей (1)
записывается в разностной форме. Для решения разностных уравнений применяются
схемы бегущего счета [1], которые ведут себя как явные.
ПРИМЕР состоит из следующих этапов:
· Запуск Java–апплета с помощью любого браузера.
· Выбор левого граничного условия (нуль либо другая константа) и начального
условия (отрезок гладкой гармонической функции, либо разрывная функция
типа прямоугольного импульса).
· Выбор количества точек пространственной сетки и шага по времени.
· Выбор разностной схемы.
· Численное решение однородного линейного уравнения переноса методом
бегущего счета с помощью одной из четырех разностных схем.
ЗАДАЧИ:
· Изучить метод конечных разностей (сеток) решения дифференциальных
уравнений в частных производных. Полезно записать в разностном виде уравнение
переноса с использованием каждой сетки, определить порядки аппроксимации
и условия устойчивости для каждой из схем.
· Выписать для каждой из схем первое дифференциальное приближение.
Уяснить, какие схемы называют диссипативными и что такое псевдовязкость.
· Поэкспериментировать, как ведут себя разные схемы при расчетах с
разными шагами на гладких и разрывных решениях.
ЛИТЕРАТУРА. [1] Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978, гл. X.; [2] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику М., МФТИ, 1984, с. 141 –180.