Уравнения в частных
производных > 
Уравнение
Пуассона
Двумерное уравнение Пуассона - пример уравнения в частных производных эллиптического типа, включающее в себя вторые производные функции T(x,y) по двум пространственным переменным:
(1)
Уравнение Пуассона описывает, например, распределение электростатического поля T(x,y) в двумерной области с плотностью заряда f(x,y), или стационарное распределение температуры T(x,y) на плоскости, в которой имеются источники (или поглотители) тепла с интенсивностью f(x,y). Именно в последней физической интерпретации и будем далее рассматривать уравнение Пуассона (поэтому мы и обозначили искомую функцию символом T). Корректная постановка краевой задачи для уравнения Пуассона требует задания четырех (в двумерном случае) граничных условий.
Некоторые численные решения уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями и разными источниками показаны на рис.1-2.
Рис.1. Решение уравнения Пуассона (график линий уровня)
с одним источником и нулевыми граничными условиями
Рис.2. Решение уравнения Пуассона с
тремя источниками разной интенсивности
Согласно идеям метода сеток,
уравнение Пуассона (1) может быть записано в разностной форме при помощи шаблона "крест" (рис.3). В этом случае, после приведения подобных слагаемых в разностных уравнениях коэффициенты разностной схемы будут такими, как показано возле узлов шаблона на этом рисунке (аналогичные коэффициенты для уравнения теплопроводности см.
в описании метода сеток).
Рис.3. Шаблон аппроксимации схемы "крест" для уравнения Пуассона
Однако, в отличие от уравнения теплопроводности,
разностная схема для уравнения Пуассона
уже не может быть решена явно. Для ее
реализации требуется решить систему
линейных уравнений. Для ее решения можно
использовать итерационный метод
релаксации Якоби. Для его запуска требуется
задать начальное приближение к решению
(0-ю итерацию) и запустить итерационный
процесс, уточняющий решение.
Параметр численного алгоритма (число в
пределах от 0 до 1) характеризует скорость сходимости итераций. Суть алгоритма релаксации сводится к тому, что в ходе итераций происходит проверка уравнений и соответствующая коррекция значений искомой функции в каждой точке. Если начальное приближение выбрано удачно, то можно надеяться, что алгоритм сойдется ("срелаксирует") к правильному решению.