Разностные схемы

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто используется метод, называемый разностным, который уже был ранее рассмотрен нами при  решении краевых задач для ОДУ. Разберем идею разностного метода  (его еще называют методом сеток) на примере для уравнения теплопроводности (или диффузии тепла):

Суть метода заключается в покрытии расчетной области (x,t) сеткой из NхМ точек. Тем самым определяются узлы, в которых будет осуществляться поиск решения.  Затем надо заменить дифференциальные уравнения в частных производных аппроксимирующими их уравнениями в конечных разностях, выписав соответствующие разностные уравнения для каждого (i,k)-го узла сетки. В нашем случае достаточно просто заменить первые производные, входящие в уравнение, их разностными аналогами (такой метод дискретизации называется , как Вы помните, методом Эйлера).

Для уравнения (2) явная разностная схема имеет вид:

где коэффициент K=H_x²/(H_tD) характеризует отношение шагов разностной схемы по пространству и времени и называется коэффициентом Куранта. Для построения разностной схемы мы покрыли расчетную область (x,t) сеткой и использовали для разностной аппроксимации уравнения конфигурацию узлов (шаблон), показанную на рис.1 (о принципе построения разностных схем мы уже говорили в главе, посвященной ОДУ, и поэтому не будем повторяться). Рядом с каждой точкой шаблона приведены значения коэффициентов при значениях искомой функции в соответствующих узлах сетки, которые получаются после приведения в приведенной разностной схеме подобных слагаемых.

Рис.1. Шаблон аппроксимации уравнения теплопроводности

Аппроксимировать дифференциальные уравнения разностными можно множеством различных способов. От выбора конкретного варианта зависит не только простота, быстрота и удобство вычислений, но и сама возможность получения правильного ответа. В частности, наряду с методом Эйлера, используют так называемый интегро-интерполяционный метод.

Сформированная полная система алгебраических уравнений (дополненная разностной аппроксимацией граничных условий для того, чтобы число неизвестных равнялось числу уравнений) называется разностной схемой, аппроксимирующей исходное дифференциальное уравнение. Процесс решения системы разностных уравнений называют реализацией разностной схемы.

Реализация разностной схемы (3) для модели без источников тепла f(x,T,t)=0 приведена здесь.