Некорректно поставленные
задачи и вычислительная
диагностика
Теория и методы решения некорректных задач - интенсивно развивающееся в последние десятилетия направление математики, своим рождением обязанное настоятельным запросам практики. Определяющий вклад в становление и развитие этой области математики внесен академиком А.Н.Тихоновым. Методы решения некорректно поставленных задач, развитые в нашей стране, получили мировое признание и широкое применение в различных областях науки и техники. На основе концепции и методов решения некорректных задач возникло новое направление математики - вычислительная диагностика, в которой с использованием ЭВМ решаются задачи определения количественных характеристик изучаемых объектов по имеющейся косвенной информации о них. Такая ситуация имеет место, в частности, в астрофизике, диагностике плазмы [154], при контроле промышленных изделий, в геофизических методах разведки и т. д.
В проведенных в Институте теоретических и прикладных исследованиях получил развитие тихоновский метод регуляризации, разработан ряд вариационных и спектральных методов решения некорректно поставленных задач, соответствующих регуляризирующих алгоритмов и программных комплексов. Существенное внимание в исследованиях уделяется учету разнообразной априорной информации, позволяющей повысить качество приближенных решений [155].
На основе подхода к решению обратных задач с использованием оптимальных с информационной точки зрения аппроксимаций искомых функций в Институте созданы проблемно-ориентированные системы автоматизированной математической обработки и интерпретации результатов наблюдений (в частности, в диагностике плазмы). Системы внедрены и используются в ряде организаций. В последнее время в Институте активно разрабатываются методы решения некоторых прямых и обратных задач геофизики (акустический каротаж скважин, реконструкция напряженного состояния земной коры по результатам сейсмических наблюдений и т. д.). Эти исследования приобретают большое значение в связи проблемами поиска нефтегазовых месторождений, повышения эффективности нефтедобычи, экологически чистого захоронения радиоактивных отходов и др.
Перспективным методом вычислительной диагностики является компьютерная томография, получившая широкое распространение. Задачей компьютерной томографии является получение информации о структуре различных объектов, сред или систем, которая используется в различных сферах научно-технической деятельности. Исследования и разработки по вычислительной томографии, имея конечной целью создание компьютерных томографов, должны решать задачу разработки проблемно-ориентированных вычислительно-отображающих комплексов с соответствующим математическим обеспечением [156]. В Институте это направление исследований развивается применительно к медицинской и промышленной томографии, гидроакустике и другим приложениям. Выполненные работы внесли существенный вклад в разработку математического обеспечения первого в стране компьютерного томографа медицинского назначения. Был предложен и исследован новый метод рефлексионной компьютерной томографии для решения проблемы классификации объектов в гидроакустике, развиты методы компьютерной томографии применительно к задачам технической диагностики (в частности, для контроля качества изделий авиационной техники).