Вычислительная математика
В стенах Института родились многие направления современной вычислительной математики. В их создании и развитии с начала 1950-х годов участвовали коллективы сотрудников, руководимые М.В.Келдышем, А.Н.Тихоновым, А.А.Самарским, И.М.Гельфандом. Основой успеха здесь стало сочетание высокой математической культуры с нацеленностью на решение крупных конкретных задач газодинамики, физики плазмы и других областей науки.
Главное достижение состоит в том, что методы численного анализа, созданные несколькими поколениями выдающихся исследователей, были доведены до уровня технологии. Эти методы удалось сначала внедрить в ведущих научных центрах, а затем и в большинстве исследовательских и проектных организаций страны. Огромную роль здесь сыграла теория разностных схем [1,2].
В научной школе академиков А.Н.Тихонова и А.А.Самарского были построены однородные консервативные разностные схемы [3] для нелинейных уравнений газодинамики, диффузии, магнитной гидродинамики, переноса, кинетических уравнений. Достаточно простые и надежные, они сыграли решающую роль в выполнении многих научно-технических проектов, имевших стратегическое значение для нашей страны. Одной из составляющих успеха стал "физический", а не "математический" подход к дискретизации уравнений. Фундаментальное значение в физике имеют законы сохранения. Консервативные схемы, для которых выполняются "разностные законы сохранения", сыграли принципиальную роль во многих прикладных задачах. Их обобщением являются полностью консервативные разностные схемы [4,5], в которых выполнены балансы различных видов энергии. Дальнейшим развитием данного направления в многомерном случае стали вариационные схемы в механике сплошных сред и метод опорных операторов [6,7]. В последние годы в Институте активно развивается направление, связанное с применением методов инвариантно-группового анализа к разностным уравнениям. На этом пути можно строить разностные схемы, наследующие симметрии исходных нелинейных дифференциальных уравнений [8]. Фундаментальные результаты теории разностных схем, полученные в Институте, были обобщены в монографиях [2,9], ставших классическими.
Характерный размер ячейки суперэлемента I и II типа равен Н, неоднородности (кружки) много меньше H.
Для приближенного решения задач газовой динамики, содержащих разрывы (ударные волны), применяются схемы сквозного счета. Одной из первых среди них стала широко известная разностная схема, основанная на расчете распада разрыва, предложенная академиком С.К.Годуновым [10,11]. Расчеты и исследования разрывных решений коренным образом изменили теорию квазилинейных уравнений в частных производных. Сформулировано понятие обобщенного решения и требования к нему на разрыве, поставлены и при определенных условиях решены проблемы существовании и единственности решения. []
]Отличительной чертой сотрудников ИПМ является умение смотреть на узкие специальные задачи с общематематических позиций, продвигать не только практику, но и теорию вычислительных методов. Достаточно указать на предложенный в начале 50-х годов метод прогонки [14]Отличительной чертой сотрудников ИПМ является умение смотреть на узкие специальные задачи с общематематических позиций, продвигать не только практику, но и теорию вычислительных методов. Достаточно указать на предложенный в начале 50-х годов метод прогонки [14] для решения систем линейных разностных уравнений, сыгравший принципиальную роль на начальном этапе численных расчетов в нашей стране, и его развитие - метод потоковой прогонки [15]. Огромное влияние на развитие вычислительных технологий оказала идея программирующей программы и первая ее реализация [16,17]. Фундаментом всей вычислительной математики стала разработанная в 70-х годах теория оптимальных вычислительных методов как алгоритмов переработки информации об элементах функциональных пространств, использующая самые современные математические подходы, частично также найденные в нашем институте [18].
В настоящее время во всем мире широко используются такие разработанные в Институте вычислительные методы, как метод регуляризации некорректных задач [19], метод оврагов для поиска экстремумов функции многих переменных [20,21], проекционный метод обработки случайных наблюдений [22], метод локальных итераций решения неявных разностных схем для нелинейных параболических уравнений [23]. Среди основных в вычислительной математике - понятие гибкой разностной схемы для дифференциального оператора, понятие вычислительного алгоритма без насыщения [18].
Численное решение двумерных и трехмерных задач газодинамики и теплопроводности связано с дополнительными трудностями, преодолению которых посвящены монографии [24,25]. Высокоточные многомерные разностные схемы разработаны в связи с решением многочисленных задач вычислительной аэродинамики [26,27].
В результате многолетних исследований создана теория разностных потенциалов, имеющая целый ряд приложений к численному решению задач математической физики, в том числе в неограниченных областях. В настоящее время метод разностных потенциалов интенсивно развивается. На его основе созданы новые алгоритмы решения прикладных задач газовой динамики, акустики и дифракции [28].
В Институте создан многосеточный метод решения эллиптических уравнений и его варианты, ориентированные на решение широкого класса задач математической физики, дано обоснование его асимптотической оптимальности, метод применен при решении конкретных прикладных задач. Многосеточный метод является эффективным алгоритмом численного решения больших систем линейных и нелинейных уравнений, возникающих при дискретной аппроксимации на регулярных и нерегулярных сетках стационарных задач математической физики (теплопроводности, диффузии нейтронов, упругости, механики жидкости и газа, включая задачи обтекания тел набегающим потоком). Количество арифметических операций, требуемое для решения таких систем уравнений с помощью многосеточного метода, как правило, пропорционально порядку системы уравнений.
Была показана асимптотическая оптимальность многосеточного метода. К настоящему времени многосеточный метод стал одним из самых известных и употребительных методов вычислительной математики. [29]
Существует широкий класс задач, решение которых содержит резкие неоднородности, проявляющиеся на мелких по отношению к размеру области пространственных масштабах (рис. 1). Численное решение таких задач сеточными методами требует специальных сеток для разрешения особенностей. Для этого необходимо использовать либо адаптивные к решению сетки, сгущающиеся в окрестности особенностей, либо достаточно мелкие сетки с шагом h, сравнимым с размером неоднородностей, и огромным количеством точек.
Для решения подобных задач на сетках размером H >> h был предложен метод конечных суперэлементов (МКСЭ) [29,30]. Как и МКСЭ, метод конечных элементов (МКЭ) основан на представлении решения задачи в виде разложения по системе базисных функций, имеющих конечный носитель. Однако в МКСЭ базисные функции строятся для данной рассматриваемой задачи специальным образом так, чтобы в них самих содержалась значительная информация о решении задачи. Именно специальный, под задачу, выбор базисных функций и позволяет несмотря на грубое разбиение исходной области получить хорошее численное решение.
МКСЭ эффективно используется в ИПМ при решении задач теории упругости, моделировании реакторов. Ведутся работы по обоснованию метода конечных суперэлементов [31]. Их основой является использование граничных операторов Пуанкаре-Стеклова и идея замены исходной краевой задачи эквивалентной ей задачей для определения следов неизвестного решения на границах суперэлементов.
Методы построения расчетных сеток, адаптирующихся к решению разностной задачи, представляют собой предмет интенсивных исследований в современной вычислительной математике. Развитие этих методов в Институте тесно связано с математическим моделированием в физике плазмы, нелинейной оптике и аэродинамике. Сетки с движущимися узлами, которые минимизируют погрешность аппроксимации разностной схемы, дают принципиальное повышение точности для динамических задач и равномерную сходимость в пограничных слоях. Вариационные разностные схемы и метод опорных операторов открыли возможность использования произвольных подвижных лагранжевых сеток в случае больших деформаций [32]. В Институте разрабатываются методы автоматического построения неструктурированных адаптивных сеток для решения задач в областях со сложной геометрией.