Образование и научные интересы
В 1922 г., сдав экстерном экзамены по программе рабочих факультетов на вечерних общеобразовательных курсах, А.Н. Тихонов поступил на физико-математический факультет Московского университета. На втором курсе университета он начинает научную работу, участвуя в семинаре Павла Сергеевича Александрова по топологии. В 1925 г. вышла первая работа Тихонова, а в 1926 еще две. Поскольку в России математические журналы выходили крайне редко, то эти работы были опубликованы в немецком журнале "Mathematische Annalen". В 1927 г. была защищена дипломная работа "Об универсальных пространствах". Впоследствие, оценивая работы Тихонова в эти годы по топологии, П.С. Александров отмечал три основные достижения. Первое - введение понятия топологии в произведении пространств. "Сейчас всякий математик, работающий в области топологии, алгебры или функционального анализа не только знает эту "тихоновскую" топологию, но с трудом себе представляет, как бы математика могла без нее обойтись - настолько классическим в полном смысле этого слова стало введенное понятие. А между тем в те времена, когда А.Н. Тихонов - в свои 20 лет - пришел к мысли именно так, а не иначе определить топологию в произведении пространств, избранный им способ ее определения казался не только неожиданным, но и совершенно парадоксальным... Я отлично помню, с каким недоверием встретил предложенное определение. Найти его, усмотреть его, действительно было настоящим открытием. Вторым открытием является теорема, утверждающая бикомпактность произведения любого семейства бикомпактных топологических пространств. Статистика показывает, что во всей теоретико-множественной топологии трудно найти теорему, столь часто применяемую, она занимает в настоящее время первое место по числу ссылок на нее в мировой литературе по топологии. Эта теорема была доказана в дипломной работе А.Н. Тихонова. Третьим топологическим открытием молодого ученого является введение вполне регулярных пространств и установление того факта, что вполне регулярные пространства, и только они, являются подпространствами бикомпактов. ...Установив этот замечательный факт, А.Н. Тихонов стал основателем теории бикомпактных расширений - одной из самых разработанных в настоящее время, важных и прекрасных глав общей топологии". В 1927 г., после окончания физико-математического факультета Андрей был оставлен в аспирантуре Научно-исследовательского института математики при МГУ, а затем преподавателем в МГУ. В 1933 г. МГУ происходит реорганизация, и физико-математический факультет разделяется на механико-математический и физический факультет, где организуется кафедра математики. Андрей Николаевич направляется на кафедру математики физического факультета. Одновременно он зачисляется на должность ученого специалиста в Геофизический институт. С этого времени меняется направление научной деятельности А.Н. Работа по топологии, хотя и шла очень успешно, не давала ему полного удовлетворения. Изменение места работы способствовало появлению новых интересов. Это математическая физика и теоретическая геофизика. Первые его исследования в Геофизическом институте были связаны с определением исторического климата земли, с вопросами мерзлотоведения. Ставилась задача о возможности определения исторического климата Земли по известному современному распределению температуры с глубиной. Необходимо было решить принципиальный вопрос о правомерности самой постановки такой обратной задачи. А.Н. Тихонова получил результат, ставший теперь классическим, который состоял в том, что решение уравнения теплопроводности в бесконечной области без учета дополнительных условий не будет единственным. Для единственности необходимо потребовать выполнение условия ограничения роста решения на бесконечности. Одновременно А.Н. Тихоновым была доказана единственность обратной задачи реконструкции палеоклимата. В это же время им было изучено влияние радиоактивного распада на температуру земной коры. Позднее А.Н. Тихоновым и его учениками была рассмотрена модельная задача о возникновении термических циклов в истории Земли. При нагревании Земли за счет энергии радиоактивных источников возникают слои расплава, которые расширяются и выносится к поверхности Земли, где прекращают свое существование из-за теплоотдачи. Возникают термические циклы. Проведенные исследования показали, что циклы следуют друг за другом с периодичностью порядка 100 млн. лет, что согласуется с числом наиболее крупных геологических катаклизмов. Для учета влияния излучения на температурный режим земной коры А.Н. Тихоновым были изучены задачи для уравнения теплопроводности при нелинейных краевых условиях, в частности, при излучении по закону Стефана-Больцмана. Была предложена редукция, сводящая эти задачи к нелинейным интегральным уравнениям типа Вольтерра. Развитием и обобщением цикла работ, связанных с решением нелинейных интегральных уравнений, стала докторская диссертация А.Н. Тихонова, защищенная им в 1936 г. на тему "О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их приложение к уравнениям математической физики". В 1936 г. А.Н. Тихонов становится профессором МГУ и заведующим кафедрой математики на физическом факультете. В 1937 г., оставаясь в МГУ, он начинает работать в только что созданном О.Ю. Шмидтом институте Теоретической геофизики АН СССР. В этот период математические методы в геофизике по существу только формировались. В 1939 г. в возрасте 33 лет А.Н. Тихонов был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. В предвоенные годы А.Н. выполнил ряд работ, связанных с расчетом динамики сорбции газов. Постановка задачи определялась созданием в это время новых систем противогазов. Заслуга Андрея Николаевича состояла в том, что он сформулировал простую форму описания процесса, в то же время, соответствующую экспериментальным данным. В течение более полувека она широко используется для описания динамики сорбции. Ее часто называют моделью Тихонова - Глюкауфа. В работах А.Н. для линейного случая решение было получено в аналитическом виде. Для произвольной выпуклой изотермы было доказано существование режима параллельного переноса стационарного фронта концентрации и построено асимптотическое решение в виде распространяющейся волны. Исследования, проведенные А.Н. Тихоновым, будучи одними из первых по моделированию динамики сорбции, отнесятся к классическим в рассматриваемой области и до сих пор цитируются. После начала Великой Отечественной войны институт Теоретической геофизики, вместе с другими учреждениями Академии наук, был эвакуирован в Казань, а затем частично в Уфу. Часть эксплуатируемых нефтяных месторождений в это время оказалась на территории занятой немцами или под угрозой их захвата. Поэтому начался поиск нефти между Волгой и Уралом. Андрей Николаевич был привлечен к работам по сейсморазведке и электроразведке. Он работал в составе группы, занимавшейся расшифровкой результатов электрозондирования в районе г. Ишимбай. С этого времени начинаются работы А.Н. Тихонова в области разведочной геофизики. Первые задачи в этой области были связаны с теорией интерпретации данных электроразведки на постоянном токе. Им была доказана теорема единственности восстановления распределения электропроводности земных пород с глубиной по измерениям электрического поля на земной поверхности в зависимости от расстояния до источника поля. Существовавшие методы обработки данных наблюдений не внушали Тихонову доверия, и с этого времени он начинает заниматься исследованием решения обратных задач обработки данных В 1943 г. им опубликована статья "Об устойчивости обратных задач". Эта работа, обосновывавшая метод подбора решения, была его первой работой по решению некорректных задач. В послевоенное время в отделе математической геофизики Геофизического института Академии наук под руководством А.Н. Тихонова активно продолжались работы по созданию и развитию новых электромагнитных методов изучения земной коры и мантии. А.Н. Тихонов предложил два новых направления в электроразведке: а) метод магнитотеллурического зондирования, основанный на синхронном наблюдении и анализе изменений магнитной и электрической составляющей естественного поля Земли, без генерации токов на поверхности, как это делается при электрическом зондировании; б) метод, использующий процесс установления электромагнитного поля постоянного тока. Эти работы А.Н. Тихонова положили начало развитию методов электромагнитных зондирований, использующих электромагнитное поле, возбуждаемое естественными или искусственными источниками. Было обосновано использование естественного электромагнитного поля Земли для получения полного геоэлектрического разреза. Естественное поле Земли изучалось и раньше. Однако использовались или только электрические, или только магнитные компоненты поля. Более богатую информацию дает одновременное изучение электрической и магнитной составляющих. Предложенный А.Н. Тихоновым метод как раз и заключается в изучении частотной зависимости отношения электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля на поверхности Земли (импеданса) для определения электрических свойств ее внутренних слоев. При этом фундаментальное значение имеет доказанная Андреем Николаевичем теорема единственности обратной задачи. Созданные новые методы позволяют выявить неоднородности в диапазоне до 100 км. А.Н. Тихоновым проведен также большой цикл работ по теории методов электроразведки. Им решена задача о становлении электромагнитного поля в слоистом полупространстве при включении тока в питающий провод, расположенный на поверхности среды, а также предложен метод зондирования, использующий искусственное поле, создаваемое заземленным диполем переменного тока. Результаты А.Н. Тихонова и его учеников, работающих в данной области, широко используются при интерпретации результатов геофизических наблюдений. В 1948 г., в связи с работами над созданием ядерного оружия, вызванному в Кремль А.Н. Тихонову было поручено организовать вычислительный отдел для проведения расчетов процесса взрыва атомной бомбы. В короткое время была создана группа сотрудников, основой которой стали ученики и аспиранты Андрея Николаевича и, в первую очередь, А.А. Самарский, ставший ближайшим помощником А.Н. Тихонова по научной работе. В состав лаборатории вошли: В.Я. Гольдин, Н.Н. Яненко, Б.Л. Рождественский. Работа шла в контакте с группой физиков, в которую входили Я.Б. Зельдович, Ю.Б. Харитон, А.Д. Сахаров, Л.Д. Ландау, И.Е. Тамм. От отдела требовались надежное и по возможности быстрое решение уравнений, составленных физиками. Вычислительной математики, как науки, в то время еще не существовало, и каждый шаг был новым. Отдел А. Н. Тихонова, насчитывавший около 60 человек, размещался сначала на Пятницкой улице, а затем переехал на улицу Кирова в здание с не вызывающей интереса вывеской. Большинство в отделе составляли женщины-вычислители, многие из них прежде работали с Андреем Николаевичем в Институте теоретической геофизики АН СССР. Орудиями счета служили трофейные электромеханические машины "Мерседес". Внешне эти машины напоминали пишущие, выполнение арифметических операций сопровождалось лязгом кареток. Вначале были проведены расчеты усредненной модели атомного взрыва по заданиям, разработанным в группе академика Л.Д. Ландау. Одновременно А.Н. Тихонов предложил провести прямой расчет атомного взрыва. Здесь важную роль сыграло его предложение о решении задачи в лагранжевых переменных, что тогда было новым. В результате под руководством А.Н. Тихонова и А.А. Самарского уже в 1949 г. был впервые проведен прямой расчет атомного взрыва. Дальше начались работы по решению более сложной задачи: расчету динамики взрыва термоядерной бомбы. Задача численного расчета взрыва бомбы была настолько грандиозной и трудной, что, например, Ландау, выражал сомнения в возможности ее решения. Отдел не обладал вычислительной техникой, которая была в то время создана в США под руководством Неймана, а имел лишь трофейные "Мерседесы". Тем острее стояли вопросы разработки экономичных и устойчивых алгоритмов счета. В это время появились многие идеи, которые позже были изложены в работах А.Н. Тихонова и А.А. Самарского по теории разностных схем. Важным был вопрос о надежности счета. Задание выдавалось сразу двум исполнителям, которые не имели права общаться при выполнении работы, а в конце сравнивались результаты. 1 ноября 1952 г. на атолле Эниветок американцам удалось осуществить термоядерную реакцию. Взорванное устройство имело огромный вес и габариты, превышающие размеры дома, и было не транспортабельно. В 1953 г. математические коллективы, работающие по атомной проблеме, были объединены в Институт прикладной математики Академии наук. Директором института был назначен М.В. Келдыш, а А.Н. Тихонов стал его заместителем. 12 августа 1953 г. на полигоне в Средней Азии прошло успешное испытание Советской водородной бомбы. Она была сброшена с самолета. В тот день ученый был в числе присутствовавших на командном пункте полигона. Взрыв прошел в соответствии с результатами расчетов. За работу по этому проекту А.Н. Тихонову в 1953 г. были присуждены Сталинская премия и звание Героя Социалистического Труда. Американским специалистам удалось создать бомбу, пригодную для военных целей, лишь к марту 1954 г. Параллельно с работами по геофизике и по атомной тематике в ИПМ Андрей Николаевич начинает исследования по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр при старшей производной. Хотя это не было основным направлениям его научной деятельности, тем не менее, этот цикл его работ положил начало большому самостоятельному направлению современной математики, в котором работали и продолжают работать многие ученые во всем мире - теории сингулярных возмущений. Интересно, что к математической постановке этой задачи ученого привела одна модель из области физической химии, по поводу которой к нему обратились за консультацией. Но за отдельной частной задачей А.Н. Тихонов сумел увидеть и сформулировать общую математическую проблему. Результаты анализа этих вопросов были опубликованы в работах, в которых рассматривалась система уравнений с начальными условиями, включающая уравнения с малым параметром при производной. Были сформулированы условия, при которых вырожденное решение, т.е. решение, полученное при нулевом параметре, является пределом решения полной задачи при стремлении параметра к нулю. А.Н. Тихонов рассмотрел случай, когда в систему входит несколько малых параметров разного порядка малости. Была дана наиболее общая формулировка понятия устойчивости решения вырожденного уравнения, имеющая прямую связь с теорией устойчивости по Ляпунову. В 50х - 60х гг. в ИПМ Тихоновым и Самарским был выполнен цикл исследований в области теоретических проблем вычислительной математики. Это было время появления ЭВМ и начала бурного развития численных методов. А.Н. Тихонов и А.А. Самарский разработали и исследовали важный класс однородных, консервативных разностных схем, для решения различных задач математической физики на ЭВМ. Идеи и принципы, заложенные в этих работах, позволили решать сложнейшие прикладные проблемы, включая задачи физики плазмы, геофизики, электродинамики и ряд других областей естествознания. Это во многом определило в дальнейшем проблему подготовки высококвалифицированных кадров по вычислительной и прикладной математике. В середине 60-х годов Андрей Николаевич получил свои основные результаты по устойчивым методам решения некорректных задач и методу регуляризации. Заслуга Тихонова в том, что он по-новому посмотрел на эти задачи. Начал с того, что он по-иному определил само понятие решения некорректной задачи. Всегда пытались точно решать задачу с неточной правой частью. Андрей Николаевич считал необходимым учитывать неточность задания данных. Он определил решение как результат минимизации некоторого функционала специального вида, в котором дополнительной частью является слагаемое, отражающее физические требования к решению. Им были доказаны соответствующие теоремы сходимости и получен устойчивый метод решения некорректных задач, названный методом регуляризации. Этим методом было решено большое число фундаментальных задач геофизики, томографии, астрофизики, экономики, оптимального управления и т.д. В 1966 г. цикл работ по некорректным задачам был отмечен Ленинской премией. В том же году А.Н. Тихонов был избран действительным членом АН СССР. В дальнейшем метод регуляризации был использован для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, оптимального управления, устойчивого суммирования рядов Фурье и др. Создание медицинских томографов, диагностика плазмы и многие другие прикладные задачи удалось решить в рамках этого подхода. По теории решения некорректных задач в 1974 г вышли книга А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина "Методы решения некорректных задач", в 1983г. монография А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского, В.В. Степанова, А.Г. Яголы "Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация", в 1990 опубликована книга А.Н. Тихонова, А.С.Леонова, А.Г. Яголы "Численные методы решения некорректных задач". А.Н Тихонов стал одним из идеологов широкого внедрения прикладной математики в различные сферы жизни общества. В 1970 г. по его инициативе при активной поддержке М.В. Келдыша был создан факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, с которым связано развитие образования в СССР в этой области. По замыслу А.Н. Тихонова сочетание высокой математической культуры, физической интуиции и искусства, связанного с программированием, должно было помочь государству вырастить поколения специалистов компьютерной эпохи. Успехи нашей страны в области прикладной математики во многом связаны с воплощением этого замысла в жизнь. А.Н. Тихонов был первым деканом созданного факультета и оставался им долгие годы. С его легкой руки такие факультеты начали создаваться по всей стране. В 1978 году, после смерти М.В. Келдыша, Андрей Николаевич назначается директором ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР и занимает этот пост до 1989 г. В эти годы институт включился в число участников крупнейших научно-технических проектов. Одним из ярких примеров может служить комплекс работ, связанных с созданием многоразовой космической системы "Энергия-Буран". Участие института в этой работе оказалось важным с точки зрения успеха всего проекта. В этом, как и во многих других делах института, проявился организаторский талант А.Н. Тихонова, его дальновидность, железная воля, мудрость, государственный подход. Все эти годы А.Н. Тихонов совмещает свою научную и административную работу с чтением лекций и проведением семинаров в МГУ. Он работает в ИПМ и одновременно заведует кафедрами математики на физическом факультете и вычислительной математики на мехмате. В 1951 г. выходит первое издание учебника А.Н. Тихонова, А.А. Самарского "Методы математической физики". Этот учебник характеризуется подходам к математической физике, как к математическим методам исследования моделей физических процессов. Он замечателен своими приложениями, собравшими результаты многих исследований в различных областях матфизики. Учебник выдержал несколько переизданий и уже полвека является одним из наиболее популярных книг в своей области. Еще в 50х годах А.Н. Тихонов и А.А. Самарский получили важные результаты, относящиеся к электродинамическим процессам в волноводах. Эти работы явились источником для обобщений во многих направлениях. Например, при расчетах, связанных с возбуждением волн в волноводах, требовались разложения по собственным функциям задачи. Постановка задачи явилась начальным толчком, от которого потом началось научное направление, возглавляемое В.А. Ильиным, ныне академиком, приведшее к многочисленным и сильно развитым исследованиям в области теории разложения по собственным функциям операторов. Одним из рассмотренных Тихоновым и Самарским вопросов в теории волноводов явились условия на бесконечности. Поскольку условия Зоммерфельда не удобны при наличии источников на бесконечности, был поставлен вопрос о формулировке общего принципа и дан ответ в форме принципа предельной амплитуды. Другая идея состоит в переходе к задаче в среде с поглощением. Этот принцип был обобщен А.Г. Свешниковым на случай общего эллиптического оператора и на случай различных граничных условий, уходящих на бесконечность. Ему удалось сформулировать принцип парциального излучения, который позволил создать алгоритмы решения большого круга прямых и обратных задач распространения радиоволн в неограниченной области, а также рассматривать в них задачи синтеза. Обратные задачи и задачи синтеза являются некорректными. Для решения этих задач необходимо использовать разработанные А.Н. Тихоновым методы регуляризации. В свою очередь, для использования этих методов, связанных с расчетом функционалов, необходимо быстро и эффективно численно решать прямые задачи дифракции и распространения волн при различных типах неоднородностей в волноводах. Совокупность всех методов решения обратных и прямых задач была использована для решения задачи синтеза излучающих систем. Эти задачи решались с участием специалистов из радиотехнических институтов. Были разработаны методы создания реальных антенных систем различного назначения, которые позволяют при учете ограничений на источники возбуждения антенны и ее конструктивных параметров оптимально удовлетворять требованиям к характеристикам ее излучения. За эти работы в 1976 г. А.Н. Тихонову и возглавляемому им коллективу ученых была присуждена Государственная премия. Андрей Николаевич являлся создателем большой научной школы, представляющей многие направления современной математики и ее приложений. Среди его учеников свыше 50 докторов наук, ряд членов Академии наук. За заслуги перед страной в области науки и образования и в связи с 80- летием А.Н. Тихонову в 1986 г. было присуждено звание Дважды Героя Социалистического Труда. | |||||
| |||||
