Погрешности разностной аппроксимации производной

Основные источники погрешностей при численном дифференцировании:

• Конечный шаг D: чем он меньше, тем точнее разностная формула
• Слишком малый шаг приводит к ошибкам вычисления функции f(x) в узлах (см. след. разд.)

Результат вычисления производной функции f(x)=sin(x) по трем разностным формулам при достаточно большом шагк показан на рисунке сверху. Рассмотрим зависимость погрешности от шага дифференцирования. Применяя разложение в ряд Тейлора:
,
в точках x=x₀ и x=x₀+D, можно определить, что аппроксимации "вперед" и "назад" обеспечивают первый порядок точности, т. е. их погрешности уменьшаются пропорционально D. Центральная аппроксимация имеет второй порядок, т. е. уменьшение погрешности согласно закону D², иными словами, при ее использовании достигается лучшая точность. В подтверждение сказанного, можно построить графики зависимости погрешностей от от значения D (они приведены на рисунке снизу).

Просмотреть пример MathCAD-программы