Разностные схемы Эйлера для ОДУ

СХЕМА ЭЙЛЕРА - самая простая, однако для решения задачи Коши для ОДУ используется крайне редко, т.к. есть методы более эффективные. Но на ее примере удобно продемонстрировать основные свойства и критерии эффективности схем интегрирования ОДУ. Кроме того, схема Эйлера часто используется для решения краевых задач для ОДУ и диф. уравнений в частных производных.
 
Рассмотрим три схемы на конкретном примере линейного уравнения f(y,t)= -Ay  Уравнение есть уравнение движения Ньютона частицы в среде с вязкими силами.   Константа A имеет смысл коэффициента вязкости, а изменение y(t) со временем есть уменьшение скорости частицы. Точное решение y(t)=exp(-At). Целый класс динамических систем (в частности, гидродинамических) моделируют методом частиц. Конечно, уравнений в реальных задачах не одно, а очень много (сколько частиц), но закономерности применения разных схем те же самые.
СХЕМА 1. 
явная, несимметричная, устойчивая при h<A/2, 1-го порядка аппроксимации o(h).
СХЕМА 2. 
явная, симметричная, многошаговая, неустойчивая при любых   h, 2-го порядка аппроксимации o(h²).
СХЕМА 3. 
неявная, симметричная, устойчивая при всех h , 2-го порядка аппроксимации o(h²).
 

Результаты расчетов по этим трем схемам приведены на рисунке:

ЯВНОЙ называют схему, в которой неизвестное значение искомой функции (на i+1 шаге) стоит только в левой части, а в правой части стоят уже вычисленные ранее значения функций. Если в правой части стоят неизвестные значения функций, то схема - НЕЯВНАЯ. Среди приведенных схем только схема 3 неявная. Однако т.к. конкретная задача линейная, то неизвестный y_i+1 из правой части можно перенести в левую и разрешить относительно него уравнение реализации шага. Однако не в таких чересчур модельных, а реальных случаях уравнение схемы нелинейное, и на каждом шаге (!) приходится решать нелинейное алгебраическое уравнение, что сильно увеличивает время счета. Обычно (и это видно даже из сравнения схем 1-3) неявные схемы устойчивее явных, поэтому часто идут на это существенное усложнение.

Обычно СИММЕТРИЧНЫЕ схемы лучше НЕСИММЕТРИЧНЫХ, поэтому стараются написать симметричную разностную схему. Именно из-за симметрии схемы 2 и 3 имеют лучший порядок аппроксимации). О том, как оценить ПОРЯДОК АППРОКСИМАЦИИ, будет сказано на следующей странице. Естественно, худшая аппроксимация схемы 1 заставляет для достижения хорошей точности использовать меньший шаг, чем, например, схема 3. Потому она работает намного медленнее, или, как говорят, ЭФФЕКТИВНОСТЬ схемы низкая. Обычно эффективность схемы (или скорость ее счета) легче всего определить численно, проведя несколько вычислительных тестов.
 
Самое опасное свойство разностных схем - условия ее УСТОЙЧИВОСТИ. Бывают НЕУСТОЙЧИВЫЕ схемы, по которым вообще ничего нельзя считать, или еще хуже - неустойчивые при некоторых условиях (например, ограничениях на шаг). Подробнее об устойчивости тоже сказано на следующей странице. Но самое неприятное - есть целый класс задач (точнее, не ОДУ, а уравнений в частных производных), которые называются НЕКОРРЕКТНЫМИ. Сама их постановка содержит неустойчивость. Какую разностную схему для их решения ни пиши, она все равно работать не будет. Некоторые эти задачи вселяют панический ужас вычислителям. Пример такой задачи - Обратное уравнение теплопроводности.