В этой главе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ) и для уравнений в частных производных. Средства
Mathcad позволяют решать краевые задачи для систем ОДУ, в которых часть
граничных условий поставлена в начальной точке интервала, а остальная часть - в
его конечной точке (разд. 12.1). Также возможно решать уравнения с граничными
условиями, поставленными в некоторой внутренней точке. Для решения краевых задач
в Mathcad предусмотрены соответствующие встроенные функции, реализующие
алгоритм пристрелки (разд.12.1.2) .
Краевые задачи во множестве
практических приложений часто зависят от некоторого числового параметра. При
этом решение существует не для всех его значений, а лишь для счетного их числа.
Такие задачи называют задачами на собственные значения (разд. 12.2).
Несмотря на то, что, в отличие от задач Коши для ОДУ, в Mathcad не
предусмотрены встроенные функции для решения жестких краевых задач, с ними
все-таки можно справиться, применив программирование разностных схем
(разд. 12.3). Возможные варианты реализации разностных схем приведены и для
решения некоторых краевых задач для дифференциальных уравнений в частных
производных. Кроме того, с некоторыми частными случаями уравнений в частных
производных - например, уравнением Пуассона - можно справиться и с
помощью встроенных функций Mathcad (разд. 12.4).
Постановка краевых задач для ОДУ отличается от задач Коши, рассмотренных в предыдущей главе, тем, что граничные условия для них ставятся не в одной начальной точке, а на обеих границах расчетного интервала. Если имеется система N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, то часть из N условий может быть поставлена на одной границе интервала, а оставшиеся условия - на противоположной границе. Дифференциальные уравнения высших порядков можно свести к эквивалентной системе ОДУ первого порядка (см. гл. 11).
Чтобы лучше понять, что из себя
представляют краевые задачи, рассмотрим их постановочную часть на конкретном
физическом примере модели взаимодействия встречных световых пучков. Предположим,
что надо определить распределение интенсивности оптического излучения в
пространстве между источником (лазером) и зеркалом, заполненном некоторой средой
(рис. 12.1). Будем считать, что от зеркала отражается R-я часть падающего
излучения (т. е., его коэффициент отражения равен R), а среда как поглощает
излучение с коэффициентом ослабления a(x), так и рассеивает его. Причем
коэффициент рассеяния назад равен r(x). В этом случае закон изменения
интенсивности y0(x) излучения, распространяющегося вправо, и интенсивности y1(x)
излучения влево определяется системой двух ОДУ первого
порядка:
. (1)
Для правильной постановки задачи требуется
помимо уравнений задать такое же количество граничных условий. Одно из них будет
выражать известную интенсивность излучения I0, падающего с левой границы x=0, а
второе - закон отражения на его правой границе x=1:
. (2)
Рис. 12.1. Модель для постановки краевой
задачи 
Полученную задачу называют краевой
(boundary value problem ), поскольку условия поставлены не на одной, а на обеих границах
интервала (0,1). И, в связи с этим, их не решить методами предыдущей главы,
предназначенными для задач с начальными условиями. Далее для показа возможностей
Mathcad будем использовать этот пример с R=1 и конкретным видом a(x)=const=1 и r(x)=const=0.1, описывающим случай изотропного (не зависящего от
координаты x) рассеяния.
Замечание 1
Модель рис. 12.1 привела к краевой задаче для системы линейных
ОДУ. Она имеет аналитическое решение в виде комбинации
экспонент. Более сложные, нелинейные задачи, возможно решить только численно.
Нетрудно сообразить, что модель сделается нелинейной, если сделать коэффициенты
ослабления и рассеяния зависящими от интенсивности излучения. Физически это
будет соответствовать изменению оптических свойств среды под действием мощного
излучения.
Замечание
2
Модель встречных световых
пучков привела нас к системе уравнений (1), в которые входят производные только
по одной переменной x. Если бы мы стали рассматривать более сложные эффекты
рассеяния в стороны (а не только вперед и назад), то в уравнениях появились бы
частные производные по другим пространственным переменным y и z. В этом случае
получилась бы краевая задача для уравнений в частных производных, решение
которой во много раз сложнее ОДУ.
12.1.2. Алгоритм стрельбы
12.3.1. О разностных схемах
12.3.2. Жесткие краевые задачи
12.3.3. Нелинейные краевые задачи