Регуляризация дифференцирования

На предыдущей странице мы выяснили, что погрешность численного дифференцирования катастрофически растет при D, стремящемся к 0. При этом, однако, мы выяснили, что при D~0 погрешность стремится к нулю, если шаг D < D₀. Если же D>D₀, результат численного дифференцирования становится неправильным. Это - проявление некорректности задачи, обусловленной присутствием погрешностей численного счета.

Для решения некорректных задач А.Н. Тихоновым предложен метод, называемый регуляризацией. Применительно к задаче численного дифференцирования его простейшая модификация, называемая алгоритмом регуляризации по шагу, может быть сформулирована следующим образом [Калиткин, с.81, 474]. На малом интервале вблизи точки x0 функция значение f(x) заменяется некоторой гладкой функцией, осуществляющей регрессию f(x). Например (в простейшем случае), f(x) заменяется прямой линией (рис.).

Таким образом, алгоритм регуляризации по шагу выглядит так:
1. В окрестности x0 выбирается несколько точек X_i. Они могут находится друг от друга и на расстоянии, меньшем D₀.
2. Вычисляются Y_i =f(X_i).
3. По этим точкам строится линейная регрессия (вычисляются коэффициенты прямой линии по методу наименьших квадратов).
4. Коэффициент линейной зависимости принимается за значение f'(x₀).

.

Просмотреть пример MathCAD-программы