Аппроксимация второй производной

Если в разложение функции f(x) в ряд Тейлора (см. страницу о погрешностях дифференцирования)
,
подставить симметричное разностное представление 1-й производной
,
то простой перегруппировкой слагаемых получим формулу для расчета 2-й производной функции:

Учитывая, что симметричная разностная формула для f'(x₀) обеспечивает 2-й порядок точности и такого же порядка остаточные члены в разложении Тейлора, можно заключить, что погрешность формулы для расчета второй производной составляет о(D²). График зависимости ошибки численного определения производной от D приведен в виде кружков на рис.:

На том же рис. в виде сплошной линии показана аналитическая зависимость погрешности аппроксимации, которую несложно получить из разложения Тейлора.

График получен при помощи MathCAD-программы