ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Большинство реальных природных объектов и явлений обладают сложной фрактальной и мультифрактальной структурой. Как известно, фракталы характеризуются тем, что их размерность является дробным числом (в отличие от обычных объектов: прямая - размерность 1, плоские фигуры - 2, объемные -3). В качестве моделей фрактальных объектов используются и математические функции: функция Вейерштрасса, множества Мандельброта и т.п. 
Пример: Рис.1 - модельное фрактальное множество.

С недавних пор выяснилось, что экспериментальное изучение фрактальных свойств помогает выяснить новые данные об объекте и существенно помочь при построении его математической модели (Астафьева,1996). В частности, определение фрактальной размерности сред типа земной атмосферы даёт информацию о смене в ней детерминированных и хаотических режимов, выяснить степень турбулентности и т.п. 

Фрактальные свойства ионосферных неоднородностей исследуются путём обработки данных дистанционного радиозондирования Численно фрактальную размерность высокочастотной компоненты можно оценить с помощью алгоритма, называемого "реконструкцией аттрактора" (Анищенко,1990). Его основная идея состоит в следующем. Временные измерения некоторой характеристики объекта (наприимер,в экспериментах по изучению течения жидкости или газа - ее локальной скорости) в единственной точке пространства представляются в виде дискретного множества. Интервал дискретизации выбирается порядка временного радиуса корреляции измерений. 

Из элементов множества измерений последовательно формируются наборы N-мерных векторов, для различных натуральных чисел N (от 1 и выше), называемых параметрами вложения. Затем для каждого набора векторов определяется т.н. "корреляционная размерность". Если всего имеется M векторов, то она равна 
,
где k(e) - число всех расстояний между точками, задаваемыми координатами векторов в N-мерном пространстве, которые меньше e. Если зависимость корреляционной размерности от параметра вложения n(N) стремится с ростом N к константе, то эта константа и будет оценкой размерности рассматриваемой временной реализации доплеровского смещения. Алгоритм "реконструкции аттрактора" нашёл применение как в геофизике, так и в других сферах науки. В частности, с его помощью исследовались свойства различных течений жидкости и ламинарно-турбулентные переходы. 

Оценить фрактальную размерность можно и при помощи вейвлет-спектрального анализа (конкретный пример этого приведен здесь).

Два типичных вида зависимости n(N), рассчитанной для раличных экспериментальных данных атмосферного течения воздушной среды f(t), приведены на рис.2. Согласно нашим измерениям, в большинстве случаев наблюдается монотонное возрастание корреляционного показателя с ростом N, характерное для бесконечной размерности, т.е. чисто случайного процесса f(t). На самом деле, в этом случае можно с уверенностью говорить, что размерность больше некоторого максимально измеренного значения корреляционной размерности (на рис. 2 - больше 7), поскольку произвести расчёт для больших N мы провести не смогли, т.к. для этого потребовалось бы намного больший объём исходной выборки данных. А этот объём лимитирован, с одной стороны, величиной интервала дискретизации, т.е. радиусом корреляции f(t), а с другой - характерным временем стационарности атмосферных процессов, составляющим доли суток. Вместе с тем, в ряде случаев наблюдался другой вид зависимости n(N), отвечающий фрактальному типу реализаций доплеровской частоты размерностью от 4 до 6. Вторая серия измерений на рис.2 даёт оценку размерности порядка 4. Вычисленное значение корреляционной размерности может быть принято в качестве нижней оценки Хаусдорфовой размерности рассматриваемого атмосферного процесса. Это означает, что неоднородная структура ионосферы в ряде случаев представляет собой не развитый, а достаточно маломодовый хаос. Более подробную информацию о представленной экспериментальной задаче Вы найдете на сайте автора этого курса http://www.kirianov.orc.ru.