Фазовый портрет динамических систем

Как известно, решения обыкновенных дифференциальных уравнений часто удобнее изображать не в виде графика  y₁(t), y₂(t), ...а в фазовом пространстве, по каждой из осей которого откладываются значения каждой из найденных функций. Например, по оси абсцисс - y₁(t), по оси  ординат - y₂(t). При этом аргумент t входит в них лишь параметрически. В рассматриваемом случае двух ОДУ такой график решения на фазовой плоскости является кривой на фазовой плоскости и поэтому особенно нагляден.  

Для качественного исследования динамической системы большое значение имеет зависимость решения системы ОДУ от начальных условий. Очень наглядным образом можно визуализировать такую информацию на фазовой плоскости. Каждое решение будет выходить из точки, координаты которой являются начальными условиями. Множество решений, вычисленное для всевозможных начальных условий, образует фазовый портрет динамической системы. С вычислительной точки зрения задача исследования фазового портрета часто сводится к обычному сканированию семейств решений ОДУ при разных начальных условий (например, при помощи алгоритма Рунге-Кутты).  В частности, фазовый портрет системы модели динамики популяций (Вольтерра), определенный для нескольких (четырех) начальных условий,  изображен на рис. 1.

 

Примечание Фазовый портрет типа изображенного на рис. 1 имеет одну стационарную точку (аттрактор), на которую "накручивается" решение. В теории динамических систем аттрактор такого типа называется фокусом. 

 

В общем случае, если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N-мерным. При N=3 фазовое пространство - это обычное 3-мерное пространство. При N>3 наглядность теряется, и для визуализации фазового портрета приходится строить его различные проекции. Центральным моментом изучения динамических систем является анализ фазовых портретов, т. е. решений, получающихся при выборе всевозможных начальных условий. 

Примечание Для большинства примеров, изложенных ниже, для построения фазового портрета рассчитывается несколько решений для разных начальных условий.